Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях плоскости Лобачевского

• Автор: Емцева, Елена Дмитриевна
• Шифр специальности: 01.01.01, 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 113 с. : ил.

Оглавление
Введение

I 1. Операторы преобразования

1.1. Операторы дробного порядка типа Лиувилля.

1.1.1. Операторы дробного порядка Л иувилля

1.1.2. Операторы дробного порядка по гиперболическим косинусам типа Л иувилля.

1.2. Общая теория операторов преобразования

1.3. Операторы преобразования на гладких функциях.

1.4. Весовые следы гладких функций

2. Функциональные пространства

2.1. О функциональных пространствах

СоболеваНикольскогоВесова
2.1.1. Одномерный случай.
2.1.2. Двумерный случай
2.2. Сингулярные функциональные пространства в
одномерном случае
2.2.1. Основные понятия
2.2.2. Теорема о весовых следах
2.3. Разложение гармонических функций по угловым гармоникам .
2.4. Сингулярные функциональные пространства в
двумерном случае
2.4.1. Основные определения
2.4.2. Теоремы вложения
2.4.3. Теоремы о следах
2.5. Заключительное замечание
Краевая задача для эллиптических уравнений с особенностью в изолированных граничных точках
3.1. Постановка краевой задач и
3.2. Изолированные особые точки гармонических функций и единственность решения сингулярной
краевой задачи.
3.3. Существование и оценка решения сингулярной
краевой задачи.
Список литературы


М. Никольского [], [] установлены необходимые и достаточные условия принадлежности пространству Никольского решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в областях с угловыми точками. Е.А. Волков [], [], [] определил необходимые и достаточные условия принадлежности пространству Ck's решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона А и = / в случае, когда область Q - прямоугольник или параллелепипед. Дифференциальные свойства решений краевых задач дли уравнений Лапласа и Пуассона на многоугольниках установлены, например, в работе []. В связи с потребностями приложений продолжает расти интерес к сингулярным эллиптическим краевым задачам. Можно сослаться на работы С. М. Никольского [], С. М. Никольского и П. И. Лизоркина [], [|, И. А. Киприянова []. Одной из основных работ но этой тематике является монография С. А. Назарова, Б. А. Пламеневского []. Фундаментальные результаты в исследовании асимптотических свойств решений линейных и нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем получены В. А. Кондратьевым, К). В. Егоровым, О. А. Олейник, В. А Никишиным ||, [3], [], [], []. Отметим также работы А. М. Ильина, Е. Ф. Леликовой [], []. Эллиптическим уравнения второго порядка посвящены работы В. А. Кондратьева [], Д. Гил-барга, Н. Трудингера [], А. К. Гущина, В. П. Михайлова [], Ю. А. Алхутова и В. А. Кондратьева |3]. Различные результаты, полученные при изучении вырождающихся дифференциальных уравнений, содержатся в обзорной работе В. П. Глушко и Ю. Б. Савченко []. В работе В. П. Глушко [] была установлена коэрцитивная разрешимость общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка в специальных весовых пространствах типа пространств Соболева. В случае сильного вырождения уравнение кроме ограниченных решений имеет и неограниченные (сингулярные) вблизи характеристической части границы решения. В этом случае в работах А. В. Бицадзе [7], [8] было предложено задавать на характеристической части не само решение или его производную, а их произведение с подобранной весовой функцией. Весовая краевая задача Коши для эллиптических уравнений изучалась Г. Н. Яковлевым [8], А. И Яиушаускасом [9| и другими авторам. В другой ситуации краевые задачи с сильным вырождением возникают в теории особых точек решений эллиптических уравнений. Исследованием таких задач посвящены работы A. A. Новрузова [], И. А. Шишмарева [7], А. И. Ибрагимова []. Для уравнений математической физики соответствующие факты приведены в книге А. Н. Тихонова, A. A. Самарского [3]. Оригинальный подход исследования сингулярных эллиптических краевых задач, основанный на введении понятия Ru - обобщенного решения, был развит в работах В. А. Рукавишникова (см. A. М. Ильина, Т. Ю. Зыряновой, Б. И.Сулейманова [], [], []. Многие задачи физики и техники вызывают необходимость изучения краевых задач в областях с негладкой границей. К таким относятся области, которые имеют на границе угловые или конические точки, ребра и т. Теория эллиптических краевых задач в негладких областях изложена в работах В. А.Кондратьева [], [], В. Г Мазьи [4], М. В. Борсука [9]-[], В. B. Фуфаева [4], В. В. Катрахова [], В. В. Катрахова и С. В. Киселевской [], []. Более подробный список ссылок на работы в данной области можно найти в книге [2]. Данная диссертация посвящена исследованию сингулярной эллиптической краевой задачи, рассматриваемой на плоскости Лобачевского. Решения эллиптических задач могут терять гладкость в особых точках. Это обстоятельство играет важную роль: возникают вопросы о поведении решений вблизи особых точек, о выборе специальных функциональных пространств, в которых порождённый краевой задачей оператор оказывается непрерывным. Поэтому постановка и изучение новых краевых задач для уравнений с сильным вырождением в соответствующих им функциональных пространствах, а также создание методов их решения являются актуальными. Цель работы состоит в изучении сингулярной эллиптической краевой задачи в областях плоскости Лобачевского, которые могут содержать изолированные граничные точки.