Роль Л. Эйлера в разработке основ математического анализа: теория гамма- и бета-функций в его печатных и неопубликованных работах

• Автор: Игнатушина, Инесса Васильевна
• Шифр специальности: 07.00.10
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Оренбург
• Количество страниц: 153 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.

Глава I. Трактовка основных понятий математического

анализа у Леонарда Эйлера.

Глава II. Формирование теории гаммафункции в исследованиях Л. Эйлера

1. Понятие гаммафункции и некоторые е свойства

2. Возникновение понятия гаммафункции

3. Некоторые результаты Л. Эйлера по теории

гчмафуикции

4. Заметки из записных книжек Л. Эйлера, относящихся

к теории гаммафункции.

Глава III. Теория бетафункции в исследованиях Л. Эйлера 1. Возникновение начал теории бстафункции в работах
Л. Эйлера
2. Обзор результатов Л. Эйлера по теории бетафункции.
3. Теория бетафункции в Интегральном исчислении
Л. Эйлера
4. Заметки из записных книжек Л. Эйлера, в которых
рассматриваются вопросы теории бетафункции
Заключение
Литература


Ныотон и Г. В. Лейбниц видели в них не только средство приближенных вычислений, но и своеобразный ключ к решению задач анализа, которые не удавалось решить в конечной форме ,, , ,, 6,9, 0,5,0 . Первоначально операции над рядами вычитание, умножение, деление, обращение, дифференцирование и интегрирование проводились по тем же правилам, что и над конечными многочленами, без какихлибо ограничений. Считалось, что все действия алгебры и анализа подчинены одним и тем же законам. Такой подход оказался достаточно плодотворным и вначале являлся источником многих открытий в математике. По существу лишь в XIX в. Были выделены сходящиеся ряды, для которых указывались еще более узкие подклассы абсолютно сходящиеся, равномерно сходящиеся и т. Иначе обстояло дело с расходящимися рядами. По мнению большинства ученых XVIIIXIX вв. Такая трактовка вопроса привела к почти полному изгнанию из математической практики расходящихся рядов. Лишь в конце XIX начале XX в. Э. Чезаро , Л. Пуанкаре , Э. Борсль , Г. Ф. Вороной , Л. Фейер и др. Тем более удивительно, что Эйлер еще в середине XVIII в. Стирлинга для гаммафункции, дал такую трактовку понятия суммы ряда, которая впоследствии стала основой для построения теории суммирования расходящихся рядов. Сулема некоторого бесконечного ряда, писал Эйлер в Дифференциальном исчислении есть конечное выражение, из разложения которого возникает этот ряд. При этом соглашении, если ряд будет сходящимся, то новое определение слова сумма совпадет с обычным 6, с. Важным результатом в этом направлении является формула суммирования ЭйлераМаклорена, связывающая частные суммы ряда с интегралом и производными его общего члена, открытая Эйлером в начале тридцатых годов. Далее с помощью метода неопределенных коэффициентов он обратил это уравнение и получил разложение 6, гл. ЭйлераМаклорсна. Отметим, что учение о рядах занимает в трилогии Эйлера относительно большой объем но сравнению с другими разделами анализа. Наряду со степенными рядами он использовал и другие типы рядов. Например, он ввел тригонометрические ряды и применил их для решения задач математической физики ,,, ,, 6. Однако общая теория сходимости рядов у него еще отстствуст. Положив Эйлера объясняется, вопервых, его поразительной математической инту ицией, а вовторых, тем, что действия производились над аналитическими функциями. Одним из уязвимых моментов исчисления, изложенного Ньютоном и Лейбницем, была природа бесконечно малых, которые изза отсутствия в то время строгого определения предела рассматривались как постоянные, но чрезвычайно малые величины. Отсюда проистекали серьезные логические затруднения. М.Я. Или бесконечно малое количество не равно нулю тогда трудность состояла в том, чтобы объяснить, почему же оно обладает при сложении с обычными арифметическими количествами свойством нуля Или же бесконечно малые количества равны нулю тогда трудность состояла в том, чтобы объяснить, каким образом из этих безразличных нулей получаются определенные результаты8, с. Эйлер предложил свой вариант решения этой проблемы в Дифференциальном исчислении, где в отличие от сочинений по математическому анализу современных ему авторов Ньютона, Лейбница братьев Бернулли, Г. Ф.Лопиталя , К. Маклорена он строил теорию в рамках чистого анализа, так что для изложения всех правил этого исчисления не понадобилось ни одного чертежа 6, с. В черновом наброске начальных глав Дифференциального исчисления, составленном, очевидно, до г. Эйлер трактует это исчисление как специальный случай исчисления конечных разностей, возникающий, когда разности бесконечно малы. Правила дифференцирования он выводит из формул конечных разностей, отбрасывая бесконечно малые, как величины меньшие любой данной конечной величины. Бесконечно малая трактуется им здесь как дробь, которая толькотолько не равна нулю, а главным объектом выступает дифференциал, который рассматривается как бесконечно малое приращение величины.