Неопубликованные материалы Эйлера по аналитической теории чисел : Элементы теории дзета - функции в его записных книжках

• Автор: Горлова, Виктория Дмитриевна
• Шифр специальности: 07.00.10
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Оренбург
• Количество страниц: 148 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава I. ИССЛЕДОВАНИЯ Л. ЭЙЛЕРА ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ И ИХ РОЛЬ В РАЗВИТИИ МАТЕМАТИКИ.

1. Аналитическая теория чисел в трудах Л. Эйлера.

2. Развитие теории рядов в трудах Эйлера.

2.1. Теория рядов в XVIII веке.

2.2. Исследования Эйлера по теории рядов.

2.2.1. Формирование понятия сходимости ряда в трудах

2.2.2. Тригонометрические и биномиальные ряды в трудах Эйлера.

2.2.3. Расходящиеся ряды в исследованиях Эйлера.

3. Элементы теории дзетафункции в мемуарах Эйлера.

3.1. Суммирование рядов вида кГп до Эйлера.
3.2. Дзетафункция в трудах Эйлера.
Глава И. ХАРАКТЕРИСТИКА И ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ЗАПИСНЫХ КНИЖЕК Л. ЭЙЛЕРА
Глава III. РЯДЫ ВИДА кп И РЯДЫ, РОДСТВЕННЫЕ ИМ,
В ЗАПИСНЫХ КНИЖКАХ ЭЙЛЕРА
1. Суммирование рядов вида кп и родственных им рядов
1.1. Формула суммирования Эйлера Маклорена
1.2. Суммирование рядов вида к2п.
1.3. Задачи суммирования рядов вида Г кГп , связанные с
именем X. Гольдбаха
2. Вычисление некоторых трансцендентных величин с помощью
рядов вида 5 кп и родственных им рядов.
Глава IV. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЗЕТАФУНКЦИИ В ЗАПИСНЫХ КНИЖКАХ ЭЙЛЕРА.
1. Элементы теории распределения простых чисел
в записных книжках Эйлера.
1.1. Тождество Эйлера для дзетафункции и его применение
1.2. Асимптотический закон распределения простых чисел
в записных книжках Эйлера.
2. Функциональное уравнение для дзетафункции и его применение
2.1. Суммирование расходящихся знакопеременных рядов
в записных книжках Эйлера.
2.2. Функциональное уравнение для дзетафункции и его применение в записных книжках Эйлера
Литература


Третий параграф посвящен изучению заметок, содержащих функциональное уравнение, эквивалентное функциональному уравнению для дзетафункции, и попытку решения Эйлером вопроса об арифметической природе чисел С2п1. В заключении диссертационной работы сформулированы выводы, отражающие основные результаты исследования. В приложении помещены фотокопии заметок Эйлера. Глава . ИССЛЕДОВАНИЯ Л. Аналитическая теория чисел в трудах Л. В начале XVIII в. Л. Эйлер был первым, кто обратился к серьезным исследованиям но теории чисел. Оценку его роли в истории этой математической дисциплины дал П. Л. Чебышев Эйлером положено начало всех изысканий, составляющих общую часть теории чисел. В этих изысканиях Эйлеру предшествовал Ферма он первый начал заниматься исследованием свойств чисел в отношении их способности удовлетворять неопределенным уравнениям того или иного вида, и результатом его изысканий было открытие многих общих теорем теории чисел. Но изыскания этого геометра не имели непосредственного влияния на развитие науки его предложения остались без доказательств и применения. В этом состоянии открытия Ферма служили только вызовом геометрам на изыскания в теории чисел. Но, несмотря на весь интерес этих изысканий, до Эйлера на них никто не вызвался. И это понятно эти изыскания требовали не новых приложений приемов, уже известных, и новых развитий приемов, прежде употреблявшихся эти изыскания требовали создания новых приемов, открытия новых начал, одним словом, создания новой науки. Это сделано было Эйлером , с. Эйлеру принадлежат около 0 работ по теории чисел. Из них большинство было объединено П. Л. Чебышвым и В. Я. Буняковским в двух томах Собрания арифметических работ . Введения в анализ бесконечных , часть разделов Универсальной арифметики и ряд отдельных мемуаров. Эйлер доказал или опроверг почти все теоремы П. Ферма и обобщил многие из них. При этом он открыл новые фундаментальные законы теории чисел, построил важные ее разделы и развил глубокие методы исследования теоретикочисловых проблем. Анализу трудов Эйлера по теории чисел посвящена обширная литература М. Кантор , Л. Диксон , Б. А. Венков 2, А. П. Юшкевич , , А. П. Юшкевич и И. Г. Башмакова , А. О. Гельфонд 4, Е. П. Ожигова и др. К числу особо важных его заслуг в развитии теории чисел относится то, что он впервые привлек теорию функций к решению числовых задач. Созданные им аналитические методы, которые были применены для решения задач о распределении простых чисел и аддитивных проблем, опираются на глубокую связь между свойствами целых чисел и свойствами аналитических функций. Изучением исследований Эйлера в области аналитической теории чисел занимались Э. Ландау 7, 8, А. А. Киселев , А. А. Киселев и Г. П. Матвиевская , Г. П. Матвиевская , Г. П. Матвиевская и Е. П. Ожигова , Е. П. Ожигова , А. Н. Гусев 6, А. Раймонд 7. Применяя к задачам теории чисел методы анализа, Эйлер получал результаты, далеко выходящие за рамки решения первоначальных задач. Вначале он использовал аналитические методы для решения задач мультипликативного характера, т. Аддитивная теория чисел в первый период своего развития носила название рагббо питегогит, т. XVI глава Введения в анализ бесконечных , несколько его мемуаров и писем. Поводом к занятиям Эйлера вопросами разбиения чисел явилось письмо профессора Ф. Ноде от августа г. В нем ставилось несколько задач на разбиение чисел. Ответ Эйлера на письмо Ноде датируется сентября г. Здесь он приводит аналитическое решение, которое затем появилось в мемуаре ОЬзегуабопеБ апаубсае уагае е сотЬпаиопЬиз Е8 8. В XVI главе 1 тома Введения в анализ бесконечных , с. Эйлер приводит теорему о том, что число разбиений п на различные слагаемые равно числу разбиений п на любые нечетные слагаемые. Здесь же аналитически доказывается известный уже до Эйлера факт, что каждое натуральное число может быть получено единственным образом путем сложения различных членов прогрессии 1, 2, 4, 8, , .