Теорема Хаага в коммутативном и некоммутативном вариантах квантовой теории поля

• Автор: Антипин, Константин Владиславович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с.

Оглавление
Введение
1 Уайтмановский подход в стандартной и некоммутативной квантовой теории поля
1.1 Формализм Уайтмана
1.1.1 Аксиомы Уайтмана
1.1.2 Функции Уайтмана и их аналитические свойства
1.1.3 Теорема реконструкции
1.1.4 Теорема Хаага в подходе Уайтмана
1.2 Некоммутативная теория
1.2.1 Общие положения
1.2.2 Уайтмановский подход в некоммутативной теории поля
1.2.3 Результаты для 50(1, 1)- и 50(1, 3)-инвариантной
теории
1.3 Заключительные замечания
2 Теорема Хаага в некоммутативной теории
2.1 Обобщение теоремы Хаага на случай некоммутативное типа Брасе-Брасе в 50(1, к)-инвариантной теории
2.2 Редукционные формулы в НКТП

2.3 Следствия для процессов рассеяния в некоммутативной теории типа “’врасе-Брасе”
2.4 Обобщение теоремы на случай некоммутативности типа “бте-
врасе”
2.5 Заключительные замечания
3 Теорема Хаага в теориях с индефинитной метрикой
3.1 Обобщенное представление Вейля
3.2 Алгебраическая формулировка теоремы Хаага
3.3 Пространства с индефинитной метрикой. Пространства Крейна
3.4 Регулярные представления ККС в пространстве Крейна
3.5 Построение представления Вейля и обобщение теоремы Хаага
3.6 Заключительные замечания
Заключение
Литература

Введение
Теорема Хаага является важным результатом аксиоматического подхода в квантовой теории поля. В традиционной формулировке теории поля предполагается, что полевые операторы удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям (ККС) в заданный момент времени. Аксиоматический подход позволил взглянуть на эту идею с новой точки зрения, и здесь он дает интересный результат.
В случае системы с конечным числом степеней свободы п молено показать [1], что любые два представления коммутационных соотношений в форме Вейля связаны унитарным преобразованием, т. е. являются унитарно эквивалентными. В частности, всегда существует унитарный оператор
£1), связывающий операторы координаты £^п и импульса Рп (образующие элементы алгебры коммутационных соотношений) в разные моменты времени:
<^«(£2) = ^(£2, £1)<Э71(£1)^1(£2, £1):
(0.1)
Рп{Ь2)=У(£2, Ч)Рп{Ь)У~Ь, £1).
Используемое в обычной формулировке теории возмущений представление взаимодействия является, по сути, попыткой перенести этот результат в теорию поля, т. е., в теорию систем с бесконечным числом степеней свободы. В этом случае предполагается, что канонические переменные (скажем, <£>(£, ж)) в каждый момент времени связаны унитарным преобразованием с каноническими переменными свободного поля (обозначим одну из них че-

• Свойства аналитичности:
1. Аналитичность W(i/i,..., vn-, А) в домене Т~:

Є Тп , если щ = & - irjij Ці Є к/, Ці = {цг .rfi). (1.84)
При этом некоммутативные координаты х-, х остаются вещественными, а не комплексными.
2. Аналитичность 'У(у1, .... ь А) в расширенном домене Тп:
Tn = jAcT~, (1.85)

где Лс € S,Oc(l, 1)—двумерный аналог комплексной группы Лоренца.
3. Расширенный ДОМеН Тп СОДерЖИТ вещественные ТОЧКИ Xi (точки Поста) такие, что
Xi~Xj, т. е. (х® — ж°)2 — (ж| — ж|)2 < 0, Vz,j. (1.86)
• Условие локальной коммутативности:
W(xi,... ,жг-,жг-+1.... ,хп) = W(xi,.. xit.. .,хп),
supp fi e Oi x Ri, supp fi+1 G Oi+1 xflj, Oj ~ Oj+i,
(1.87)
где О— область изменения координат и xf, a R; — область измене-
ния координат xj и xj.
Условие слабой локальной коммутативности:
W(xi,. ..,ж„) =W(a:n,...,a;i)) х{ ~ Xj Vi,j. (1.88)