Структура и свойства нелинейных эволюционных уравнений, интегрируемых общей дифференциальной спектральной задачей

• Автор: Дубровский, Владислав Георгиевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 140 c. : ил

СОДЕРЖАНИЕ :

ГЛАВА I. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ОВДЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МАТРИЧНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕЙ, ИХ ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВАЯ И ГАМИЛЬТОНОВА СТРУКТУРЫ

§1.1. Вывод фундаментального соотношения

§ 1.2. Рекурсионный оператор

§ 1.3. Построение общих Бэклунд-преобразований

§ 1.4. Общая форма интегрируемых уравнений

§ 1.5. Гамильтонова структура интегрируемых уравнений

§ 1.6. Теоретико-групповая структура интегрируемых

уравнений

§ 1.7. Примеры: N = 2,3,4

ГЛАВА 2. ОБЩАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С N ПОТЕНЦИАЛАМИ ]/0 , . . . , Vц-і И
КОНСТАНТНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ: ГРУППА ОБЩИХ БЭКЛУНД-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ОНЦАЯ СТРУКТУРА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 2.1. Рекурсионный оператор при различных способах
разрешения связи
§ 2.2. Группа общих Бэклунд-преобразований и
нелинейные эволюционные уравнения
§ 2.3. Калибровочная инвариантность и гамильтонова
интерпретация интегрируемых уравнений
§ 2.4. Примеры: N-2.
§ 2.5. Примеры: N-3

ГЛАВА 3. ОБЩАЯ СТРУКТУРА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ,
ИНТЕГРИРУЕМЫХ ОБЩЕЙ МАТРИЧНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕЙ
§ 3.1. Общая структура нелинейных уравнений
§ 3.2. Калибровочная инвариантность
§ 3.3. Примеры
ГЛАВА 4. ОБЩАЯ СТРУКТУРА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В I +
ИЗМЕРЕНИЯХ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ ОБОБЩЕННОЙ ДВУМЕРНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕЙ
§ 4.1. Некоторые важные соотношения
§ 4.2. Рекурсионные операторы
§ 4.3. Общий вид интегрируемых нелинейных
уравнений
§4.4. Примеры: Л/-2 , N =3
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Одним из основных методов описания физических процессов являются дифференциальные уравнения. Хорошо известна фундаментальная роль линейных уравнений: волнового уравнения, уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа, встречающихся почти во всех разделах физики. Однако многие физические явления существенно нелинейны и требуют для своего описания нелинейных уравнений.
Традиционные методы решения линейных уравнений: методы преобразования Фурье, Лапласа и т.д. в применении к нелинейным уравнениям оказываются в большинстве случаев малоэффективными.
В 1967 году в работе Гарднера, Грина, Крускала и Шуры (ГГКМ) [в] при решении задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза (Кдф) иь+ биих+ ихх=0 был открыт новый метод математической физики - метод обратной задачи рассеяния (МОЗР). Ванным моментом работы ГГКМ было сопоставление нелинейному уравнению Кдф линейной спектральной задачи, потенциал которой отождествлялся с решением уравнения Кдф.
Лаке в работе [э] переформулировал первоначальные результаты ГГКМ на операторном языке, введя А, А -пару, и нашел бесконечное семейство интегрируемых уравнений, ассоциированных с уравнением Кдф. Им был предложен первый метод поиска интегрируемых уравнений.
В работе Захарова и Шабата в 1971 году [ю] с помощью спектральной задачи Дирака было проинтегрировано нелинейное уравнение Вфедингера + ихх +2/и1ги =О • Стало ясно, что метод ГГКМ применим не только к Кдф.
Дальнейшее развитие МОЗР получил в замечательной работе Захарова и Шабата И 1974 года. В этой работе был предложен метод одевания, который одновременно с построением интегрируемых нелинейных уравнений дает рецепт вычисления точных решений этих

#№ * #<^ --ЛУ- ф0Фг-ф0г№ +&ФЩЪ +£№+£&№-
-ф!/Л +&Р® - Т$3ю+ффгю+ фЧ№)-Щф&-
-# &+£Ф*) +Ш'Ч)-№*® * фЩ+МР®--Ш^) +&кРи>-£кф® ^Фтр:'-£№*Ш
& =#^г'Ъ?+£фъ)дг+ Ц-фЧр-#<^-
- %№-* £№) - тФгЩ" $№)-т+[%И)
- №Ч)+ ф№ - Л(Щ-%ШР-Ю,
1ф = ^-У-ркУ—р0К)д-фК^^ф(дгК:)-0]/р К~фК^
+ШЧ)- т$Ю * №)-£Ш/2?-?£#К)£'(М.
Простейшее уравнение (1.4.5) при М—Ц , соответствует постоянным значениям & ,Ог , и представляет собой следующую систему уравнений:
$ -ЦдК +0,(-№+Ж-г№Уг-£Ш)*Я@-Я(-
-ру * ук * ргд%* рл-м^
4г-ЛМ *0,(-г?& * Л +2М-1/Л) 'За -