Методы экстраполяции нерегулярных временных рядов

• Автор: Котляров, Олег Леонидович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 122 с. : ил.

ГЛАВА 1. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ В ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
1.1. Теоретические основы обработки временных рядов
1.2. Особенности обработки реальных временных рядов
1.3. Способы определения количественных характеристик ряда
1.4. Возможности «нелинейной» обработки временных рядов
ГЛАВА 2. МЕТОДЫ АНАЛИЗА И ПРОГНОЗА НЕРЕГУЛЯРНЫХ
ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
2.1. Глобальные методы
2.2. Локальные методы
ГЛАВА 3. ОБЩАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕТОДА
ЛОКАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
3.1. Построение системы уравнений ЬА
3.2. Выбор оптимального варианта ЬА
ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ПРОГНОЗА
4.1. Прогноз активности Солнца
4.2. Обобщения метода ЬА
4.3. Алгоритм автоматического выбора параметров в методе локальной аппроксимации
4.4. Дополнительные возможности алгоритма автоматического выбора параметров
РЕЗУЛЬТАТЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ
ЛИТЕРАТУРА

Актуальность темы
Проблема обработки и анализа временных рядов является одной из классических. Оценка результатов любого эксперимента базируется на обработке полученных данных. В этих условиях обработка временных рядов с целью извлечения из них полезной информации становится одной из важнейших задач любого исследования. Но этим цели обработки временных рядов не ограничиваются. Достаточно часто определяющим является не только изучение свойств системы, породившей временной ряд, но - иногда и в первую очередь - прогноз дальнейшей динамики временного ряда - его экстраполяция. Например, в метеорологии практический интерес представляет прогноз погоды на ближайшее время, тогда как более глобальная задача изучения особенностей климата имеет в краткосрочной перспективе меньшее значение.
Задача прогноза не является исключительной принадлежностью метеорологии, она также актуальна в геофизике, где предсказание землетрясений является одним из основных направлений исследований, в астрофизике при изучении солнечной активности, финансовом анализе при прогнозе курсов акций, биржевых индексов и т.д. В этих и других областях исследований уже достаточно давно применяются методы прогноза, большинство из которых построено на линейных моделях.
В то же время с развитием технических средств постоянно расширяется интерес к построению и исследованию сложных процессов на основе нелинейных моделей. Здесь применение классических методов далеко не всегда приводит к желаемым результатам. Кроме того, встает проблема выбора подходящих моделей для описания исследуемого процесса.
Указанные трудности и ограничения в применении классических методов заставляют обратить внимание на методы и подходы, разработанные в рамках теории динамических систем. Многие их этих методов уже дано вышли за пределы самой дисциплины и привлекли внимание исследователей, работающих во многих областях науки.

Более того, за счет постоянного расширения области применения и, несмотря на связанные с этим вопросы обоснованности использования методов теории динамических систем, эта теория может стать, по сути, парадигмой анализа временных рядов. Не последнюю роль в этом играет концепция, что качество результата - единственный важный аргумент в пользу применения метода. Такой подход весьма характерен особенно при анализе временных рядов: очень немногие люди действительно считают, что фондовый рынок или поле, засеянное кукурузой, - на самом деле это линейные авторегрессионные системы. Тем не менее, линейные методы анализа временных рядов применяются к временным рядам, порожденным подобными системами, причем со значительным успехом.
В основе большинства методов, связанных с обработкой временных рядов, лежит использование многомерного представления временного ряда в виде матрицы задержек - набора копий временного ряда, взятых с определенными лагами. Новым результатом теории динамических систем явилось установление факта, что пространство задержек при соблюдении определенных условий может рассматриваться как реконструкция фазового пространства нелинейной динамической системы, породившей временной ряд (теорема Такенса и ее обобщения [1], [2]). Таким образом, была доказана возможность описания динамики многомерной системы по временному ряду наблюдаемой. В свою очередь, возможность описания и реконструкции динамики системы при определенных условиях позволяет прогнозировать ее дальнейшее поведение [3].
В рамках теории динамических систем было разработано достаточно много методов анализа и прогнозирования временных рядов. В настоящей работе подробно рассмотрены два наиболее теоретически обоснованных метода, отражающих два основных подхода к описанию динамики временных рядов: глобальный - метод сингулярного спектрального анализа [4] - и локальный - метод локальной аппроксимации [5].
Эти методы имеют свои преимущества и недостатки, например, применение сингулярного спектрального анализа позволяет сгладить исходный ряд и снизить уровень случайных возмущений. Кроме того, с его помощью

собственных значений характеризуют разброс точек вдоль новых осей координат. Максимальным является первое собственное значение, а следующие монотонно убывают.
Рассмотрим, как работает МГК в составе БЗА. Для этого воспользуемся представлением каждого столбца матрицы X в виде точки в М -мерном пространстве задержек. Это можно сделать, так как по построению матрица X - это набор М -координатных векторов. В соответствии с алгоритмом МГК преобразуем систему координат таким образом, чтобы в новой системе одна из осей шла по прямой, вдоль которой наблюдается наибольший разброс точек. Это будет первая ось нового базиса. (В МГК мерой информативности фактора считается разброс его значений, т.е. чем больше разброс значений некоторого фактора, тем он информативнее.) Следующую ось выберем снова вдоль линии максимального разброса точек, но с одним дополнительным условием: она должна быть ортогональна первой. Соответственно третья ось выбирается ортогональной уже двум первым, и так далее. Иллюстрация этого алгоритма
Рис. 2. Выбор новой системы координат методом главных компонент (М =3).
т (0 (2) (3)
представлена на рис. 2, где х,х ' ,ху' - первая, вторая и третья оси координат