Применение вариационного метода Л. М. Качанова в задачах плоского упруго-пластического изгиба стержней

• Автор: Федорова, Мария Юрьевна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 126 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Плоский поперечный изгиб стержней в упругой
и упруго-пластической стадиях
1.1. Основные уравнения плоского поперечного изгиба стержней
1.2. Напряжённо-деформированное состояние и форма
изогнутой оси при различных стадиях изгиба
1.3. Анализ напряжённо-деформированного состояния стержней круглого сечения при различных геометрических
размерах и величинах нагрузок
1.4. Определение остаточных напряжений и прогибов при разгрузке
1.5. Упругий стержень прямоугольного сечения. Точное решение. Вариационная постановка задачи. Применение метода Ритца
1.6. Упруго-пластический изгиб стержня прямоугольного сечения.
Точное решение
1.7. Упруго-пластический изгиб стержня прямоугольного сечения. Вариационная постановка задачи. Применение модифицированного
метода Ритца в форме Л.М.Качанова
1.8. Применение вариационного метода Ритца в форме Л.М.Качанова в задаче упруго-пластического' изгиба стержня с круглым
поперечным сечением
2. Поперечный упруго-пластический изгиб стержня
при предварительном осевом напряжении
2.1. Постановка задачи. Основные соотношения
2.2. Решение задачи в упругой стадии.
Граница перехода к упруго-пластическому состоянию
2.3. Напряжённо-деформированное состояние и форма изогнутой оси предварительно напряжённого стержня прямоугольного сечения в стадии
с одной зоной пластичности
2.4. Стержень прямоугольного сечения. Упруго-пластическая стадия
с двумя зонами пластичности. Предельное состояние
2.5. Применение метода Л.М.Качанова к задачам изгиба предварительно напряжённых стержней прямоугольного сечения
2.6. Анализ напряжённо-деформированного состояния стержней прямоугольного сечения. Влияние величины предварительного напряжения
2.7. Стержень круглого сечения. Упруго-пластическая стадия
изгиба с одной зоной пластичности
2.8. Стержень круглого сечения. Упруго-пластическая стадия
изгиба с двумя зонами пластичности. Предельное состояние
2.9. Применение метода Л.М.Качанова к задачам изгиба предварительно напряжённых стержней круглого сечения
2.10. Анализ напряжённо-деформированного состояния стержней круглого сечения. Влияние величины предварительного напряжения
3. Упруго-пластический изгиб стержней с учётом линейного упрочнения материала. Анализ напряжённо-деформированного состояния при разгрузке
3.1. Стержень прямоугольного сечения. Применение модифицированного метода Ритца в форме Л.М. Качанова
3.2. Стержень круглого сечения. Численное решение задачи.
Приближённое решение: применение модифицированного метода
Ритца в форме Л.М. Качанова
3.3. Разгрузка в стержне круглого сечения из упрочняющегося материала
3.4. Анализ процессов разгрузки при упруго-пластическом изгибе предварительно напряжённого стержня прямоугольного сечения
3.5. Анализ процессов разгрузки в предварительно напряжённом
стержне круглого сечения
Заключение
Приложение А. К определению функции С(Фг) и её произвожной С(<5г)
Приложение В. Учёт касательных напряжений в задачах поперечного упруго-пластического изгиба
Литература
Введение
Пластические свойства обнаруживают большинство материалов, используемых при проектировании современных конструкций и сооружений. Учёт этих свойств позволяет более полно оценить несущую способность, выявить дополнительные запасы прочности и приводит к рациональному использованию материальных средств.
Стержни, а также балки и болты являются основным элементом большинства строительных конструкций. Задачам упруго-пластического изгиба балок и стержней посвящены работы многих авторов, в том числе монографии: [20], [24], [58]; разделы справочной и учебной литературы: [13], [14], [43], [51], [54]; отдельные разделы специальных исследований [10],[12], [47], [59], [69].
Общие подходы к построению методов расчёта заключаются в принятии ряда положений, в том числе гипотезы плоских сечений, допущения об одноосности напряжённого состояния и схемы идеальной пластичности. Для задач чистого изгиба в упругой стадии эти допущения позволяют построить точное решение, удовлетворяющее уравнениям равновесия и совместности деформаций ([65]). За пределами упругости допущение об одноосности напряжённого состояния эквивалентно допущению о том, что коэффициент Пуассона V в зчгругой и пластической областях одинаков и равен 0.5, при этом учёт остальных составляющих тензора напряжений не влияет на величину изгибающего момента в сечении ([28]). При поперечном изгибе, как указывал В.В.Новожилов [48], ” гипотеза плоских сечений не включает в себя никаких предположений о свойствах материала, из которого изготовлен брус”. Таким образом оба допущения носят приближённый характер, и, хотя решения, построенные на этих допущениях, дают несколько преувеличенные деформации ([28], [11]), проведённые эксперименты ([81],[11], [75], [87], [82], [86], [73], [74], [79], [88], [89]) показали достаточную для практики степень точности полученных решений, а выводы элементарной теории в определении предельных нагрузок отличались не более, чем на 5-6% от экспериментальных данных. Большой обзор экспериментальных исследований для конкретных, практических задач изгиба представлен в работе [46].
При поперечном изгибе в сечениях стержня возникают касательные напряжения, уравновешивающие поперечную силу и обеспечивающие совместную деформацию всех частей стержня при изгибе. Появление касательных напряжений приводит к перераспределению нормальных напряжений и влияет на возникновение пластических деформаций. Подход к определению касательных напряжений в упругопластической стадии, проводимый в рамках элементарной теории изгиба, был
с учётом соотношения Екй — егт приведём это соотношение к виду:
М = МТ( 1--) , (1.73)
где Мт = атЬЯ2— предельный момент прямоугольного сечения, а 6 = )|.
С другой стороны, величина изгибающего момента в сечении определена статическим условием (1.13), которое позволяет связать продольную координату £ с границей упругой зоны 8 соотношением:
7*=(1-у) , (1-74)
здесь величина -у = ~ меняется в пределах:

= — < 'У <
Мт 3 - '
Подставляя в (1.74) значение 6 = 1, определим координату сечения, в котором появляются пластические деформации: {о
Разрешим зависимость (1.74) относительно 8, получим два симметричных значения, из которых, согласно определению, выберем положительное:
6 = у/з{1-1£) , (1.75)
тогда кривизна, к > 0 для правой половины стержня, будет определена выражением
“ = ’ (1'76)
используя которое при последовательном интегрировании производной и”(£) на упруго-пластическом участке £0 < £ <1, получим:
= (1'77)
”«) = ({ + |(1-1 + а) ' (1'78) В формуле (1.77) учтено граничное условие на торце согласно условиям (1.15).
На упругом участке 0 < £ < £о последовательное интегрирование зависимости между кривизной и изгибающим моментом
«”(0 - #77 (1-79)

в силу условия «(0) = 0 приводит к выражениям:
(1'801