Равновесие изотропного упругого пространства, содержащего полости и включения

• Автор: Шульмин, Антон Сергеевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Липецк
• Количество страниц: 68 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Задачи о полостях в пространстве и методы их решения
1.1. Задачи о полостях и включениях в неограниченном пространстве
1.2. Обзор задач, решённых методом граничных состояний
2. Метод граничных состояний в задачах о неограниченных телах с полостями
2.1. Основные положения метода граничных состояний
2.2. Организация базиса пространства состояний во внешних задачах
2.3. Процедуры решения внешних задач
2.4. Тестовые задачи
2.5. Выводы по разделу
3. Основные задачи о двух сферических концентраторах в неограниченном пространстве
3.1. Взаимовлияние сферических полостей
3.2. Взаимовлияние сферических включений
3.3. Взаимовлияние сферических полости и включения
3.4. Выводы по разделу
Заключение
Библиографический список
ВВЕДЕНИЕ
Задачи о полостях в пространстве изучались механиками издавна. Специфика этих работ связана с конфигурацией границ тел (сферы, неограниченные цилиндрические поверхности), что позволяет применять спектральные разложения, используя в качестве рабочего инструмента специальные функции. Данное ограничение существенно ограничивает область рассматриваемых задач, поэтому актуальна разработка метода, который будет распространен на классы задач для ограниченных и неограниченных тел, содержащих полости и включения, вообще говоря, произвольной формы.
Объекты исследования диссертации частично рассматривались другими авторами, которые использовали методы разложения в ряды, пригодные в случае областей простейших конфигураций. Использование таких методов для областей произвольных конфигураций не представляется возможным. Метод граничных состояний (МТС) снимает это ограничение.
Целью настоящей диссертации является развитие МГС на класс задач теории упругости для неограниченных тел, содержащих полости и включения.
Для достижения поставленных целей необходимо:
- обосновать методологию построения базиса пространства гармонических функций для неограниченных областей;
- разработать методику наполнения базисов пространств состояний для тел, содержащих полости и включения, на основе общих решений определяющих уравнений для среды;
- сформулировать краевые задачи теории упругости в терминах МГС;
- разработать вычислительные алгоритмы;
- провести решение серии задач о внешности сферической полости (первая, вторая, основная контактная и основная смешанная задачи);
- провести решение серии задач о взаимодействии полостей и включений (первая, вторая и основная смешанная задачи).
Научная новизна определяется следующими положениями:
разработаны методология и алгоритм построения функций, гармонических вовне окрестности фиксированной точки, на основе набора однородных гармонических многочленов;
- наработаны шаблоны, позволяющие набирать базис пространства состояний по стандартной схеме;
- выполнены тестовые и оригинальные расчеты для серии задач о внешности сферической полости (первая, вторая, основная контактная и основная смешанная задачи);
- решены новые задачи о взаимодействии полостей и жестких включений (первая, вторая и основная смешанная задачи).
Достоверность полученных результатов обеспечена:
- строгим математическим обоснованием МГС;
- тестированием результатов в отношении точности (визуальное сопоставление граничных условий с решением, оценка невязки решения с граничными условиями);
- тестированием метода на известных решениях (сопоставление первой основной задачи для сферической полости с известным решением Саутвелла).
Теоретическая ценность заключается в следующих положениях:
- доказана теорема о функциях, гармонических во внешности окрестности любой точки пространств, конструктивное применение которой позволяет конструировать базис пространства гармонических функций;
- разработана методология построения базиса гармонических функций вовне окрестности фиксированной точки, исходя из набора однородных гармонических многочленов;
- выполнены постановки первой, второй, основной смешанной и основной контактной задач теории упругости в терминах МГС для неограниченной среды с полостями и включениями.
Практическая ценность заключается в возможности использования МГС для решения задач, в которых пространства содержат полости и включения, в частности:
Защемленная полусфера является экраном, защищающим прилежащие к ней слои материала от деформирования. Радиальные напряжения ахх в сечении являются сжимающими в области, примыкающей к средним широтам полусферы и растягивающими непосредственно вблизи полюса 0 = л/2, а на некотором удалении вдоль полярной оси опять сжимающими. Окружные напряжения Оуу - слабо сжимающие в экваториальном поясе, растягивающие
на «полярной шапке», а на удалении вдоль полярной оси - опять сжимающие. Осевые напряжения а22 - растягивающие в верхней части полусферы 51, сжимающие в близи экватора. Напряжения сдвига ахг ярко выражены вблизи средних широт верхней полусферы.
Б. Зеркальная осесимметричная задача. Граница полости разбита на три
класса (рис. 4): 5j (фе[-л,л], 0е[-л/3,я/3]), S2 (фе[-яд] 0е[-л/2,-я/3] ),
При решении удерживался отрезок базиса в 147 элементов. Решение при Pq -1 дало значения коэффициентов Фурье и суммы Бесселя, представленные на рис. 6. Невязка решения составила 0.5.
5з (ф е [— я, л], 0 е [я/3,я/2] ). На 5} распределены поверхностные усилия Р= pX’Py>Pz}= PoU—sin2в {со.уф„ушф,0}.

Границы 52, 5з защемлены: и= {0,0,0}. Значения коэффициентов и
правых частей БСУ вычисляются по формулам:
-я я/