Некоторые приложения метода редукции к степенным рядам в задачах теории чисел

• Автор: Коротков, Александр Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: САратов
• Количество страниц: 80 с.

Оглавление

1 Избранные вопросы метода редукции

к степенным рядам

1.1 О рядах Дирихле, определяющих целые функции

первого порядка

1.2 Аппроксимационный критерий периодичности

конечнозначных функций натурального аргумента

2 Приложение метода редукции к степенным рядам к задаче о трансцендентности значений

некоторых функций

2.1 Общие факты о трансцендентности значений

некоторых функций в алгебраических точках
2.1.1 Теоремы Эрмита и Линдемана
2.1.2 Аппроксимационный подход Гельфонда
при решении 7 проблемы Гильберта
2.1.3 О трансцендентности значений ффункции Римана
в четных натуральных точках
2.1.4 Анализ приведенных результатов и выбор направления исследований при решении поставленных задач
2.2 О граничном поведении одного класса степенных рядов
2.3 О транцендентности значений одного класса
рядов Дирихле в натуральных точках
2.4 Аппроксимационный подход в задаче о трансцендентности значений А-функций Дирихле в алгебраических точках
на положительной полуоси
3 Приложение метода редукции к степенным рядам к задаче определения нулей А-функций

в критической области
3.1 Известный метод определения нулей
3.2 Об одном численном алгоритме определения нулей целых функций, определяемых рядами Дирихле
с периодическими коэффициентами
3.2.1 О нулях целых функций, заданных рядами Дирихле
с периодическими коэффициентами
3.2.2 О приближении целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами
в полосе сг > ао > 0, |£| < Т, полиномами Дирихле
3.3 Алгоритм и вычислительная схема определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле
с периодическими коэффициентами,
в правой полуплоскости
3.4 Об оценке необходимой степени аппроксимационного
полинома
Список литературы

Введение
Актуальность работы Рассмотрим ряд Дирихле

= 3 = 0+ ІІ, іт е.—/ пв

и соответствующий степенной ряд (с теми же коэффициентами, что и ряд (1)):

9 (г) = /Д] а«~п- (2)

Ряд Дирихле / («) абсолютно сходится в полуплоскости о > 1, а степенной ряд д (2) сходится при г < 1.
Метод редукции к степенным рядам устанавливает взаимосвязь между аналитическими свойствами функции / (в), определенной рядом (1), и поведением функции д (г), определенной рядом (2) на границе сходимости.
Эта взаимосвязь устанавливается на основании изучения свойств прямого и обратного преобразований Меллина:

/ (а) Г 0) = j д (е~х) хЧх, о > 1, (3)

(7+гоо
9 = Г Х~*(І8' а > -т > (4) (7
где Г (я) — Г-функция Эйлера, р (е-т) = апе~пх, х > 0.
Впервые основные положения метода редукции к степенным рядам были заложены в работе [24], в которой на основании изучения свойств преобразований (3) и (4) было показано, что в случае конечнозначных коэффициентов ряд Дирихле (1) тогда и только тогда определяет мероморфную функцию с единственным возможным полюсом первого порядка в точке 5 = 1, модуль

Формула (2.5) называется интерполяционной формулой Ныотона для функции /(г) с узлами интерполяции 2ц
Рассмотрим теперь бесконечную последовательность точек 21,
Иш Нп(г)
П—¥ ОО
для всех 2, принадлежащих области До С Д. Тогда

/(г) = 53лад, геДо. (2.6)

Ряд (2.6) называют интерполяционным рядом Ньютона для функции
/(г) с узлами интерполяции г,
Из равенства (2.6) следует, что ап ф 0 для бесконечного множества значений п, кроме случая, когда /(т) £ С[г].
Вернемся к теореме Гельфонда. Пусть аеА,а0; 1, /3 = г фа, а € N. Обозначим I = Оффа). Рассмотрим все целые числа алгебраического поля /, имеющие вид
х + /Зу, х, у £ Ъ,
и занумеруем их в последовательность г,

а2 = - гф (г - гп), (2.7)

где в соответствии с равенствами (2.3) и (2.4) и по теореме о вычетах
л _ _ф_ [ _ ' /9
П_1 2тгг У Ш=1 (С - гк) % Ш=ь (* **) 1 ' '
ад = ф [ («)
2ттг 7 (С -г1)---{(-гп)(-г Сп
а Сп — любой простой замкнутый контур, охватывающий точки