Мультипликативно идемпотентные полукольца

• Автор: Петров, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Киров
• Количество страниц: 104 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Предварительные результаты

1.1 Исходные понятия и примеры

1.2 Свойства мультипликативно идемпотентных полуколец

1.3 Конечные мультипликативно идемпотентные полукольца

ГЛАВА 2. Структурные свойства мультипликативно идемпотентных полуколец

2.1 Общие структурные теоремы

2.2 Полукольца с дополнительными условиями

ГЛАВА 3. Многообразия мультипликативно идемпотентных полуколец

3.1 Подпрямо неразложимые полукольца в многообразии (1Ш1 коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец
3.2 Подмногообразия в
3.3 О решетке подмногообразий многообразия ЭД1 всех мультипликативно идемпотентных полуколец
ЛИТЕРАТУРА
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

ВВЕДЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация находится в русле развития и расширения классической теории колец. Работа посвящена одному из интенсивно развивающихся в последние десятилетия разделов общей алгебры — теории полуколец [6,24,31,32]. Становление теории полуколец пришлось на 50 70-е годы XX века. Дальнейшее развитие этой теории связано с успешным применением се в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, тропической математике, теории оптимального управления, теории графов, теории автоматов, формальных языках и других разделах дискретной математики (см., например, [16,33,35]).
Полукольца образуют широкий класс алгебраических объектов, содержащий все (ассоциативные) кольца, все дистрибутивные решетки, ряд числовых систем. Поэтому для успешного изучения полуколец на них накладываются естественные дополнительные условия, позволяющие выделить важные классы полуколец. В ряде случаев это позволяет сводить исследование полуколец к более известным, достаточно хорошо изученным объектам, например, к кольцам или дистрибутивным решеткам (см. работы [7-9]).
В кандидатских диссертациях [3,14,19,22,23], исследуются полукольца с различными дополнительными условиями.
Современное определение полукольца (в широком смысле) было дано Вандивером [50] в 1934 году: полукольцом он назвал совокупность элементов, по сложению и по умножению образующих полугруппы, с правым и левым дистрибутивными законами умножения относительно сложения. Мы же под полукольцом будем понимать непустое множество 5 с бинарными операциями сложения + и умножения •, для которых (5,+)— коммутативная полугруппа, (5, •) — полугруппа и а(Ь + с) = аЪ + ас, (а + Ь)с = ас + Ьс для любых а,Ь,с Е 5'.
Если полукольцо 5 обладает элементом 1, таким, что 1 • х = х • 1 = х для всех х € 5, то 5 называется полукольцом с единицей 1. Если мультипликатив-

ВВЕДЕНИЕ
пая полугруппа полукольца коммутативна, то полукольцо называется коммутативным. Полукольцо называется мультипликативно идемпотентным, если оно обладает тождеством хх = х. Аналогично, полукольцо называется аддитивно идемпотентным, если на нем тождественно х + х = х. Полукольцо, одновременно аддитивно и мультипликативно идемпотентпое, называется идемпотентным. Полукольцо с тождеством х + у = ху называется моно-полукольцом. Будем говорить, что полукольцо Б обладает константным сложением, если в нем выполняется тождество х + у = и + и. Наконец, полукольцо с тождеством хух = х называется прямоугольным.
Объектом данной работы являются мультипликативно идемпотснтные полукольца. Многообразие Ш мультипликативно идемпотентных полуколец достаточно обширно и интересно. Оно содержит следующие многообразия полуколец: дистрибутивные решетки, булевы кольца, идемпотентные монополукольца, прямоугольные полукольца, мультипликативно идемпотентные полукольца с константным сложением. В работе показано, что во многом изучение класса ЗД1 сводится к этим пяти классам полуколец.
Ранее изучались отдельные классы мультипликативно идемпотентных полуколец, в основном идемпотентные полукольца. В частности, Б. Рая^и [42] изучал решетку подмногообразий многообразия всех идемпотентных полуколец. Им показано, что она дистрибутивна и содержит ровно 78 элементов.
С точностью до изоморфизма, существует 6 двухэлементных полуколец: двухэлементная цепь В, двухэлементное поле 2^2, двухэлементное идемпо-тентное моно-полукольцо с единицей В, двухэлементное полукольцо с единицей и константным сложением Т, двухэлементное полукольцо В с тождеством ху = х и двухэлементное полукольцо К с тождеством ху = у. Первые четыре из них коммутативны, а полукольца В,Ю>, Ь, К — идемпотентны.
В произвольном полукольце Б:
— элемент в называется поглощающим по умножению (поглощающим по сложению), если для всех х € Б выполняется в • X = х ■ 0 = О
Глава 1.
1.3. Конечные мультипликативно идемпотентные полукольца
ЗАМЕЧАНИЕ 1.3.1. Выведем реккурентную формулу для числа дп дизъюнктных пар элементов полурешетки Ь(Х) с |Х| = те свободными образующими.
При те = 2 имеем йп = 1.
Пусть те = 3, то есть X = {х,у,г}. Дизъюнктными будут следующие пары элементов: {ж, у}, {х, г}, {у, г}, {ж, уг}, {у, хг}, {г, ху}, с!п = 6.
Для некоторого натурального числа те ^ 2 выразим фг+1 через <1п. Пусть X = {х,... ,хп,х}, |Х| = те + 1. Обозначим У = {ац,.. . ,хп].
Количество дизъюнктных пар, образованных элементами равно
с1п. Число дизъюнктных пар вида {х, у} при у £ У равно числу непустых подмножеств те-элементного множества: 2" — 1 = С%(2п — 1).
Ясно, что для любого натурального г < те — 1 количество дизъюнктных пар вида (ху • ... • у*, у{+ • ... • гц+к), где уь ..., у1+к ~ различные элементы множества У при 1 ^ к ^ те — г равно Сгп{2п~г — 1).

Таким образом, дп+ = 4+ЕсГ‘-1). □

Легко видеть, что справедливо
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3.3. Имеют место следующие утверждения:
1. FM(X) “ 54Л(Х)/р' ;
2. свободное полукольцо в многообразии ЭЯ с дополнительным тождеством Зх = х с множеством X свободных образующих изоморфно полукольцу 83х=хЬ(Х)/р';
3. свободное полукольцо в многообразии ЭЛ с тоокдеством Зх = 2х с множеством X свободных образующих изоморфно полукольцу Зз,=2хТР0/р';
4■ свободное полукольцо в многообразии ЭЛ с тождеством 2х — х с мно-жеством X свободных образующих изоморфно полукольцу ВЬ{Х)/р’.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3.2. Элемент полукольца ИМ(Х) назовем
— к-буквениым мономом, если он является произведением (к различных) образующих из X с некоторым ненулевым коэффициентом из Дд;