Триангулированные категории в коммутативной и некоммутативной геометрии

• Автор: Бондал, Алексей Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 155 с.

0 Введение

1 Триангулированные категории, полуортогональные разложения и зеркальная симметрия

1.1 Триангулированные категории, исключительные последовательности,

группа Гротендика, действия группы кос

1.2 Зеркальная симметрия для многообразий с исключительными последовательностями

2 Свойства триангулированных категорий коммутативных и некоммутативных многообразий

2.1 Генераторы и резольвенты в триангулированных категориях

2.1.1 Генераторы

2.1.2 Сильные генераторы

2.1.3 Резольвенты

2.1.4 Конструкция резольвент

2.1.5 Контрпример
2.2 Генераторы и сильные генераторы для схем
2.2.1 Формулировка результатов
2.2.2 Поднятие компактных объектов
2.2.3 Компактные генераторы для производных категорий квазикогерентных пучков
2.2.4 Сильные генераторы для гладких схем
2.2.5 Производные категории аналитических поверхностей
2.3 Производные категории градуированных колец
2.3.1 Общие сведения
2.3.2 Насыщенность
2.3.3 Случай когерентного Д
3 Симплектический группоид треугольных билинейных форм
3.1 Действие группы кос и инварианты
3.1.1 Полуортонормальные базисы и группа кос
3.1.2 Инварианты

3.2 Алгебраический группоид Ли и его алгеброид Ли
3.2.1 Общие сведения об алгебраических группоидах
3.2.2 Группоид верхне-треугольных билинейных форм
3.2.3 Алгеброид Ли
® 3.2.4 Гладкость группоида
3.2.5 Флаги и билинейные формы
3.2.6 Случай п
3.2.7 Общие уравнения для матриц перехода
3.3 Симплектическая структура
3.3.1 Общие сведения о симплектических группоидах
3.3.2 Формулы для симплектической структуры
3.3.3 Замкнутость формы
3.3.4 Невырожденность формы
4 Скобка Пуассона, центр алгеброида Ли, гамильтонианы кос
4.1 Скобка Пуассона на Л
ф 4.1.1 Формулы для скобки Пуассона
4.1.2 Функции Казимира
4.1.3 Пуассонова пара
4.1.4 Симплектические листы нулевой размерности и еще одна пуассонова пара
4.1.5 Слои группоида и описание симплектических листов
• 4.1.6 Размерность симплектических листов
4.1.7 Пласты
4.2 Центр алгеброида
4.3 Лагранжевы бисечения и гамильтонианы кос
4.3.1 Реализация группы кос лагранжевыми бисечениями
4.3.2 Гамильтонианы кос
4.4 Приложение: Характеры группоида
5 Симплектические группоиды, связанные с группами Пуассона-Ли
5.1 Группы Пуассона-Ли, тройки Манина и симплектические группоиды
ф 5.1.1 Группы Пуассона-Ли, биалгебры, тройки Манина
5.1.2 Алгебраические тройки Манина и симплектические группоиды
5.2 Группоид из алгебраической тройки Машша с инволюцией
5.2.1 Группоиды из рсдуктивных групп и реализация Г
5.2.2 Основная конструкция
5.3 Двойственный группоид
5.3.1 Формулы для двойственного группоида
5.3.2 Инварианты двойственного группоида

Глава О
Важная часть исследований в гомологической алгебре посвящена изучению свойств триангулированных категорий. Введенные сначала Вердье [81] с целью поставить на твердую почву подход Гротендика к алгебраической геометрии, триангулированные категории оказались платформой объединяющей различные области математики. Причина этого кроется в том, что производные категории от абелевых категорий различной природы оказываются эквивалентны как триангулированные категории.
В применениии к алгебраической геометрии триангулированные категории возникают в следущем контексте. Геометрия и топология алгебраического многообразия может быть описана производной категорией подходящих пучков на нем. Для изучения топологии многообразия удобно использовать конструктивные пучки, а для изучения геометрии многообразия в классическом смысле итальянской школы начала 20-го века - когерентные пучки.
В работах А. Гротендика и его учеников (Дж.-Л. Вердье, Л. Иллюзи и др.) были исследованы формальные свойства производных категорий пучков различной природы и даны важные приложения построенной теории, среди которых можно отметить доказательство общей формулы Римана-Роха. Венцом этого периода исследований можно считать доказательство П. Делинем гипотез Вейля. Успех П. Делиня предопределил то обстоятельство, что в течение десяти и более лет большинство гомологических исследований алгебраических многообразий были посвящены производным категориям пучков топологической природы.
Изучение производных категорий когерентных пучков было предпринято для конкретных классов гладких алгебраических многообразий представителями мос-

Лемма 2.3.1 Для любой направленной системы (Лг,);ел и для любого п имеем
Ех4(Д/Д>п,1НпЛГ,) = НтЕх^Д/Д >П>

Доказательство. Из того факта что <Пт ЕхТ (&,&)< оо следует, что Д/Д>„ имеет градуированную резольвенту, состоящую из конечно-порожденных свободных модулей. Отсюда утвержденте леммы легко следует.
Лемма 2.3.2 Функторы Дгт коммутируют с фильтрованными копределами (и, следовательно, с прямыми суммами) для любого г
Доказательство. Это следует из описания, которое можно найти в [78]:
ДV = Нш ЕхТд(Д/Л>„, -) (2.10)

и леммы 2.3.1.
Лемма 2.3.3 Предположим, что Т есть модуль кручения. Тогда
I ЛгтТ = 0 для г >
Доказательство. В силу леммы 2.3.2 достаточно доказать утверждение в случае когда Т конечномерен. Но тогда это ясно из (2.10), если посмотреть на степени порождающих модулей, встречающихся в свободной резольвенте модуля Д/Д>„
Лемма 2.3.4 Функтор С) задается формулой
С)М = ПтНотд(Д>„, М)
Доказательство. Стандартная теория локализации [78] говорит, что
С)М — Пп^Нотд(Л>п, М/тМ)

Таким образом, нам надо показать, что Пт ЕхЬгП{Я>п, тМ) = 0 для г < 1 . Зануле-

пне Пт Нотд(Д>п, тМ) очевидно, а так как Ех1д(Д>„, тМ) = Ех1;д(Д/Д>п,тМ) ,

то зануление для Ех!1 следует из лемм 2.3.3 и (2.10).