Пространственная структура ветвящихся случайных блужданий

• Автор: Яровая, Елена Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 296 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Симметричные ветвящиеся случайные блуждания .

1.1. ВСБ с одним источником ветвления

1.1.1. Описание модели

1.1.2. Генератор случайного блуждания

1.1.3. Процесс ветвления в источнике

1.1.4. Основные уравнения

1.2. Фазовые переходы в ВСБ

1.2.1. Асимптотическое поведение моментов

1.2.2. Вероятность выживания популяции

1.2.3. Вероятность наличия частиц в произвольной точке
1.2.4. Предельное поведение ВСБ
1.3. ВСБ с тяжелыми хвостами
1.3.1. Отказ от конечности дисперсии скачков
1.3.2. Критерий возвратности
1.3.3. Предельные теоремы
Глава 2. Несимметричные ветвящиеся случайные блуждания
с конечным числом источников
2.1. ВСБ с нарушением симметрии блуждания
2.1.1. Основные уравнения
2.1.2. Свойства эволюционного оператора Ж
2.1.3. Асимптотика моментов
2.1.4. Предельная теорема
2.2. ВСБ с источниками трех типов
2.2.1. Модель ВСБ/г/к/т

2.2.2. Основные результаты
2.3. Фазовые переходы в надкритических ВСБ
2.3.1. ВСБ с источником и “псевдо-источником”
2.3.2. ВСБ с двумя источниками
Глава 3. Пространственно-временная структура ветвящихся случайных блужданий
3.1. Переходные вероятности для больших уклонений случайного
блуждания
3.2. Предельные теоремы для функции Грина решетчатого лапласиана
3.3. Большие уклонения для ВСБ
3.4. Предельные теоремы для функции Грина оператора симметричного блуждания
Глава 4. Ветвящиеся случайные блуждания в случайных средах
4.1. Случайные среды и потенциалы
4.1.1. ВСБ в однородной случайной среде
4.1.2. ВСБ в неоднородной случайной среде
4.2. Представление Фейнмана-Каца
4.3. Предельная теорема для моментов
4.4. Моменты для потенциалов вейбулловского и гумбелевского типов
Глава 5. Функционально-аналитические методы исследования
ветвящихся случайных блужданий
5.1. Линейные операторы в пространствах lp(Zd)
5.1.1. Оператор °УХ
5.1.2. Оператор s#
5.1.3. Оператор si + ß%
5.1.4. Оператор si + C^si + рЩ
5.1.5. Многоточечные возмущения оператора si

5.2. Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах
5.2.1. Основные определения
5.2.2. Уравнения в гильбертовом пространстве
5.2.3. Операторные дифференциальные уравнения
5.3. Дифференциальные неравенства
5.3.1. Скалярные уравнения
5.3.2. Уравнения в конечномерных пространствах
5.3.3. Уравнения в бесконечномерных пространствах
5.3.4. Монотонность решения задачи Коши
5.4. Асимптотические методы
5.4.1. Интеграл Лапласа
5.4.2. Тауберовы теоремы
5.4.3. Асимптотическое поведение интегралов
Литература

• на втором этапе в силу линейности полученных уравнений исследование асимптотического поведения решений при Ь оо сводится к изучению спектра операторов в правых частях соответствующих уравнений,
• на третьем этапе анализ структуры спектра эволюционных операторов позволяет выявить фазовые переходы в асимптотическом поведении моментов численностей частиц как в произвольной точке, так и на всей решетке.
В разделе 1.1 приводится описание симметричного ВСБ с одним источником ветвления и конечной дисперсией скачков и устанавливаются его основные свойства.
В разделе 1.2 изучается зависимость свойств ВСБ от размерности решетки, а также от параметра, характеризующего интенсивность источника. Показывается, что пространственная структура ВСБ качественно меняется (происходит фазовый переход) в зависимости от того, является ли величина этого параметра меньшей, большей или равной некоторому критическому значению. Доказываются предельные теоремы для численностей частиц при интенсивности источника, превышающей критическое значение. Устанавливается предельное поведение производящих функций и вероятностей продолжения ВСБ, находятся асимптотические выражения для вероятностей наличия частиц в произвольной точке в критическом случае, а также вычисляются предельные распределения для размера популяции частиц в критическом и докритическом ВСБ при различных предположениях о точке старта процесса.
В разделе 1.3 мы отказываемся от конечности дисперсии скачков и предполагаем, что элементы матрицы интенсивностей имеют на бесконечности “тяжелые хвосты”. Показывается, что основной эффект для ВСБ с тяжелыми хвостами заключается в существовании нетривиального критического значения уже при (1 — 1,2. Это отличает такие ВСБ от ВСБ с конечной дисперсией скачков, для которых нетривиальное критическое значение существует только при 0 3.