Марковские процессы в быстро меняющейся случайной среде

• Автор: Чистяков, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 122 c. : ил

Глава I. Обще теоремы о сходимости конечномерных распределений марковских процессов в случайной среде

§ I. Марковские процессы в независимой от процесса

случайной среде

1.1. Определения

1.2. Сходимость конечномерных распределений

1.3. Сходимость вероятностей переходов с запрещениями

1.4. Пример

§ 2. Марковские процессы в случайной-'среде, зависящей

от состояния процесса

1.1. Определения

1.2. Сходимость конечномерных распределений

1.3. Сходимость вероятностей переходов с запрещениями
1.4. Примеры
Глава 2. Конечные цепи Маркова в случайной среде
§ I. Определения
§ 2. Вложенные цепи Маркова
§ 3. Сходимость распределений числа непоявившихся
состояний
Глава 3. Процессы рождения и гибели в случайной среде
§ I. Распределение числа частиц ветвящегося процесса
рождения и гибели
§ 2. Распределение момента первого выхода в запрещенное состояние
Литература

ВВЕДШИЕ
В последнее время большое внимание уделяется исследованию процессов, получающихся из классических процессов заменой постоянных параметров функциями, заданными на траекториях случайных процессов, описывающих поведение среды. Необходимость исследования этих процессов возникает в таких тесно связанных с прикладными задачами областях теории вероятностей, так: теория массового обслуживания и теория надежности (см. И , [к]),
вероятностные автоматы [21] , [з] , ветвящиеся процессы
[20] и др.
Случайные процессы в случайной среде удобно рассматривать, как двумерные процессы (ШЛЮ) , в которых изменение среды описывается, например, первой координатой. В задачах теории надежности процессом ^ ({) может быть, например, режим функционирования системы, а процессом - процесс, определяющий надежность системы. Ветвящимся процессом в случайной среде называют процесс (Е «),?«)) , в котором при
фиксированной траектории ^(I) является обычным неоднородным ветвящимся процессом.
В работе В.В.Анисимова и В.Н.Ситюка [2] получены предельные теоремы для неоднородного пуассоновского процесса в случайной среде, описываемой цепью Маркова, которая в схеме серий может рассматриваться как быстро меняющаяся. Для доказательства предельных теорем исследовались асимптотические свойства решений систем дифференциальных уравнений.
В настоящей работе в быстро меняющейся случайной среде изу-

чаются процессы более общего вида. Среда предполагается
эргодическим процессом, а процесс ^ ("О ПРИ заданной траектории является марковским. Метод исследования, предложенный А.Д.Соловьевым, основан на использовании эргодических свойств ^ (Ч) »и не связан с изучением дифференциальных или интегральных уравнений, которые могут быть выписаны для переходных вероятностей в марковском случае. Это обстоятельство позволяет рассмотреть процессы значительно более общего вида по сравнению с процессами, изучавшимися в работе [*2*] , и получить более общие результаты.
Распределения некоторых функционалов от процесса, являющегося предельным для процесса Г) (£] » остаются еще достаточно сложными. Дополнительное введение предельного перехода в схеме серий по параметрам предельного процесса, позволяет получить обозримые результаты. Для процесса Г? (Ч) , являющегося цепью Маркова с конечным числом состояний, в схеме серий исследовано асимптотическое распределение числа непоявившихся состояний. Кроме того, получены предельные теоремы для процессов рождения и гибели в быстроменяющейся случайной среде.
Перейдем к более подробному изложению основных результатов.
В первой главе получены теоремы о сходимости конечномерных распределений и вероятностей перехода с запрещениями второй компоненты Г) ({) к соответствующим конечномерным распределениям и вероятностям перехода с запрещениями некоторого марковского процесса. В § I рассмотрена следующая модель марковских процессов в случайной среде. Предполагается, что процесс ^[{) , описывающий состояние среды, является эргодическим процессом:

влетворяет условиям § I, так как первая координата ^ СО зависит от поведения Г? ({;) . На тех участках, где процесс
(V) постоянен (т.е. нет отказов), ^ ({) ведет себя, как очередь в обычной системе [^ | & | °° . Моменты скачков процесса £ (•{;) являются точкали регенерации для процесса ^ (■(;) » так как в эти моменты система полностью освобождается. Таким образом величины в этом случае равны 0.
Предельным процессом, так яе как и в примере § I, будет процесс чистого размножения с интенсивностью размножения вида
А=
Ч к
Конечномерные распределения процесса 0 ({)

ветствующим конечномерным распределениям процесса чистого разсходятся к соотмножения:

если 11 $ 1г$ . 1К ) 1-^0