Оценки скорости сходимости в законе больших чисел для регулярных методов суммирования

• Автор: Доев, Феликс Хамурзаевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Ташкент
• Количество страниц: 82 с. : ил.

Глава 1. О методах суммирования случайных

величин

§1.1. Регулярные методы суммирования

§ 1.2. Вспомогательные утверждения

ГЛАВА 2. Оценки скорости сходимости в законе

больших чисел

§ 2.1. Необходимые и достаточные условия

сходимости интегралов

§ 2.2. Критерий сходимости интегралов в

терминах весовой функции и границы

§ 2.3. Достаточные условия сходимости

интегралов
ГЛАВА 3. Асимптотические задачи для р.м.с
§ 3.1. Асимптотика интегралов по малому
параметру
§ 3.2. Равномерный вариант асимптотики по
малому параметру "
§ 3.3. Асимптотика среднего времени
пребывания ^(А) за криволинейной
границей
ЛИТЕРАТУРА

Известно значение классических задач теории суммирования независимых случайных величин (н.с.в.), занимающих центральное место в теории предельных теорем теории вероятностей, В последние годы в рамках этой проблематики образовалось направление изучающее с одной стороны взвешенные суммы, а с другой функционалы, представимые в виде взвешенных сумм вероятностей уклонений специфического вида.
Пусть Х,Хъ,... - последовательность н.с.в., и пусть {с*,(А), к = 1,2,... ; Л > 0} - некоторая последовательность функций (или в случае дискретности параметра Л - бесконечная матрица, обозначаемая (сп*,)).
Положим
Изучению предельного ( при п —* оо) поведения 5(п) посвящены работы [8], [50], [53], [54], [55] и др., в которых при определенных условиях на спк и величины Х/~ установлен закон больших чисел (з.б.ч.), получены оценки скорости сходимости в з.б.ч.
Особенно тщательному исследованию подверглись регулярные методы суммирования. Подробное описание их приведено в §1.1. Здесь лишь отметим, что {с*,(А)} задает некий регулярный метод суммирования, если имеют место следующие условия:
3)£с*,(А) —>1 при А —► оо
В [66] для н.с.в. ограниченных случайной величиной X, удовлетворяющей условиям ЕХ < ос и ЕХ = р доказано, что если (спк)
1)с*,(А) —> 0 при А —> оо (У&);
2)£Ьь(А)| <М (VА);

удовлетворяет условиям 1) -3) и при этом для некоторого 7 при п —* оо
шах спк = 0(га-7), к
тогда из условия ЕХ1+1!1 < оо вытекает усиленный з.б.ч. 5(п) —> ц
(п.н.) при п —» оо.Для слабого з.б.ч. необходимо и достаточно, чтобы
тахсп/ь —+ 0 при п —> оо
Ранее этот результат был получен в [65] для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин (н.о.р.с.в.).
Для конкретных методов суммирования эти результаты были существенно улучшены.
Пусть {Х/с} последовательность н.о.р.с.в. В [42] Чоу доказал эквивалентность методов суммирования Эйлера порядка 0 < р < 1 и Бо-реля. Бингхэм и Маеджима [41] установили эквивалентность этих методов с методами Валирона, Тейлора и др. Условие ЕХ± < оо является для суммируемости {Х/с} этими методами необходимым и достаточным.
Лай [60] показал эквивалентность метода Чезаро порядка г ^ 1 и метода Абеля при суммировании {Х/с}. Необходимым и достаточным условием суммируемости {Х/ь} является условие -Е]Х1| < оо.
В этих же работах устанавлено, что при суммируемости {Х/с} каким-либо из указанных методов, суммы равны ЕХ.
Позднее А.И. Мартикайнен [23] обобщил эти результаты на н.с.в.
С другой точки зрения рассматривается задача суммируемости последовательности н.о.р.с.в. В.Ф. Гапошкиным [5]. Здесь найдены необходимые и достаточные условия налагаемые на случайные величины, чтобы существовал какой-либо регулярный метод, суммирующий {X/-}.
Следовательно, выбирая 7 ^ |с, получим
7Я( А)
Л4“У]с1(А) Г Р<1Р6(г)
I ^ с I <р()-
1 1 оо Л
^ С / <р(А)——г-7 / ^ШрГя-1 ) > * ) АА =
НЦХ)
■М&
1 *
(2)>, )/^*« 1 < У?0)А3
<50 ОО
« СI (Мое (я- (^-) > <) у =

= с / (>(()Р
(55%) мч т.
Итак, из (19), (20)-(23) следует, что
//” ГА}
так как а ^ 1 и ^(Х)3
оо.
J <р(А)Р (5о(А) ^ еН(Х)Х~а) (IX <

По неравенству симметризации
Р (50(А) ^ еЯ(А)А"“) ^ 2Р (5д(А) ^ еН(Х)Х~а - р(50(А))) ,
где р(Х) — медиана с.в. X.