Асимптотическое поведение некоторых характеристик случайных блужданий и однородных процессов с независимыми приращениями

• Автор: Шнеер, Всеволод Владиславович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 116 с.

^ Глава 1. Введение

§1.1. Случайное блуждание и однородный процесс с независимыми

приращениями

§ 1.2. Распределения с тяжелыми хвостами

1.2.1. Субэкспоненциальные распределения

1.2.2. Локально-субэкспоненциальные распределения

* § 1.3. Оценки для распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин в случае тяжелых хвостов

§1.4. Супремум случайного блуждания

§ 1.5. Максимум случайного блуждания до момента выхода на отрицательную полуось

§ 1.6. Время пересечения фиксированной границы случайным блужданием или однородным процессом с независимыми приращениями
Глава 2. Оценки для распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин
§2.1. Оценки для распределений из класса С Р| V
§ 2.2. Класс распределений БС
® § 2.3. Оценки для распределений из класса <5С
§ 2.4. Равномерные оценки
§ 2.5. Асимптотика распределения максимума случайного блуждания,
управляемого регенерирующей последовательностью
§ 2.6. Оценки для вероятностей попадания в конечный интервал
§ 2.7. Доказательства основных утверждений
Глава 3. Асимптотика вероятности попадания в конечный ин-

тервал для максимума случайного блуждания до момента выхода на отрицательную полуось

§3.1. Основные свойства класса Sд
§3.2. Доказательство теоремы 3
§ 3.3. Доказательства свойств распределений из класса <5>д
§ 3.4. Максимум случайного блуждания до произвольного момента остановки
Глава 4. Асимптотика хвоста распределения времени пересечения фиксированной границы случайным блужданием или однородным процессом с независимыми приращениями
§4.1. Основные результаты
§ 4.2. Вероятности больших уклонений для сумм случайных величин
4.2.1. Случай Q(t) = o(/i)
4.2.2. Случай lim sup ЯШ. > о

4.2.3. Крамеровский и промежуточный случаи
§4.3. Вывод асимптотики в явном виде
§4.4. Доказательства теорем 4.1 и 4

Список литературы

ГЛАВА
Данная глава содержит обзор литературы, а также краткое изложение результатов данной работы. Обзор результатов главы 2 настоящей работы приведен в параграфе 1.3, главы 3 — в параграфе 1.5, главы 4 — в параграфе 1.6. В каждом из этих случаев изложение результатов диссертации отделено от обзора литературы подзаголовком.
§ 1.1. Случайное блуждание и однородный процесс с независимыми
приращениями
Пусть {ф}“1 — последовательность независимых случайных величин, имеющих распределение F. Рассмотрим случайное блуждание

$. = £&, п>1 (1)

с начальным условием 50 = 0. При каждом п обозначим через F*’1 п - кратную свертку распределения F с собой, т.е. F*TI(Л) = Р(5„ е А) для каждого боре-левского множества А. Мы будем обозначать через С(х) «хвост» произвольного распределения С, т.е. О(х) = С((х, оо)). В таких обозначениях F(a;) = Р(ф > х) и F*n(a;) = Р(5п > х).
В главах 2 и 3 изучается асимптотическое поведение распределений некоторых характеристик случайных блужданий (подробнее см. ниже). В главе 4 наряду со случайными блужданиями рассматривается их аналог в непрерывном времени.
Определение 1.1. Случайный процесс {А)}(>0 называется однородным процессом с независимыми приращениями, если
Из теоремы 2.4 следует оценка:
V
Q*01 /дЛ
Р„ - п.н. (54)
F(s)
Используя условие (35), по теореме о мажорируемой сходимости имеем:
171 к, . п ( А .у,

р р
^Т-Г S Е V 1 2L EVcy. = С
F(x) F(x) frt J
Доказательство теоремы 2.7.
Проведем доказательство аналогично доказательству теоремы 2.6. Соотношения (51) и (52) имеют место в силу условий (А) и (Б). Из леммы 2.3 и утверждения 1.7 следует, что распределение С субэксионенциально, поэтому имеет £
место (53). Положим - 1 имеем при некотором К

место (53). Положим - в качестве е в теореме 2.5. Тогда вместо оценки (54)
-%j- ^ ^ехр{в*+ 0+1)f (л+!)} р* - п-нВоспользовавшись неравенством Коши — Буняковского, получим
Еехр {д?, + (l + |) / (^i*2)} < ЕехР Eexp |(1 + e)f <
в силу условий (37) и (38). И тогда по теореме Лебега о мажорируемой сходимости имеем:
р (£«?>*)
ч = Е _ > EVcy, = С- Бл.
F(*) F(*) £ *

Доказательство теоремы 2.8. ф Заметим сначала, что если Т удовлетворяет условиям теоремы 2.6 или теоремы 2.7, то распределение Ра является субэкспоненциальным (в первом случае это следует из утверждения 2.1 и условий теоремы 2.8, во втором