Вероятностно-статистические методы анализа и обработки сигналов при обращении интегральных преобразований радоновского типа

• Автор: Шестаков, Олег Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 234 с. : ил.

Оглавление
Обозначения
Введение
1 Предельные теоремы для оценок риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов

1.1 Вейвлет-разложение функции

1.2 Пороговая обработка вейвлет-коэффициентов и оценка среднеквадратичного риска

1.3 Универсальный порог и метод УщиЭЬгтк

1.4 Оценки скорости сходимости в предельных теоремах для оценки риска пороговой

обработки в методе П8и81шпк

1.5 Предельные теоремы для оценки риска пороговой обработки в методе ЗигеЗЬппк

1.6 Оценивание дисперсии по независимой выборке

1.7 Обобщенная кросс-валидация
1.8 Асимптотическая нормальность функции обобщенной кросс-валидации при выборе адаптивного порога
2 Предельные теоремы для оценок риска при обращении линейных однородных преобразований
2.1 Подходы к решению обратных статистических задач
2.2 Особенности оценивания среднеквадратичного риска при обращении линейных
однородных преобразований
2.3 Асимптотическая нормальность оценки риска при использовании универсального
порога

2.4 Асимптотическая нормальность оценки риска в методе SureShrink
2.5 Асимптотическая нормальность оценки риска при выборе порога на основе обобщенной кросс-валидации
2.6 Применение пороговой обработки при обращении преобразования Радона
3 Оценки точности реконструкции функции по конечному числу интегральных
преобразований радоновского типа
3.1 Задача обращения классического преобразования Радона
3.2 Оценки точности реконструкции функции по конечному числу проекций в веерной схеме сканирования
3.3 Оценки точности реконструкции функции при обращении экспоненциального преобразования Радона
3.4 Точность реконструкции функции при обращении преобразования Радона с поглощением
3.5 Оценки точности реконструкции функции при обращении сферического преобразования Радона
3.6 Точность реконструкции функции при наличии информации о значениях интегрального сферического среднего на конечном отрезке
3.7 Оценки точности реконструкции функции, описывающей коэффициент преломления в задачах дифракционной томографии
4 Реконструкция вероятностных характеристик случайных функций по вероятностным характеристикам интегральных преобразований радоновского типа
4.1 Особенности задачи обращения интегральных преобразований радоновского типа
от случайных функций
4.2 Реконструкция вероятностных характеристик случайной функции при обращении преобразования Радона
4.3 Разложение случайной функции по конечному базису
4.4 Реконструкция вероятностных характеристик случайной функции в веерной схеме сканирования
4.5 Случай счетного числа состояний

4.6 Стохастическая эмиссионная томография: однородная поглощающая среда
4.7 Стохастическая эмиссионная томография: неоднородная поглощающая среда . .
4.8 Реконструкция вероятностных характеристик случайной функции при обращении сферического преобразования Радона
4.9 Реконструкция вероятностных характеристик случайной функции при обращении интегрального сферического среднего
4.10 Стохастическая дифракционная томография
Заключение
Литература

Далее

> £дг ) ^ Р ( вир

> сдг , (1.4.26)
где 5'р/ = + 2сг^лг ^ О^Лг_1^2(1пАг)1/2 с некоторой константой П'5 > 0. Правая часть в (1.4.26)
оценивается так же, как в предыдущей теореме.
Объединяя (1.4.20)—(1.4.26) с учетом того, что у — | < 5 — 4^5 ПРИ 7 < 3/4, получаем (1.4.18) и (1.4.19). Теорема доказана.
Замечание 1.2. Из теоремы 1.2 следует, что при использовании в качестве оценки о нормированного выборочного интерквартильного размаха ая и выборочного абсолютного медианного отклонения от медианы Эм оценки риска оказываются асимптотически эквивалентными в смысле предельной дисперсии. Это следует из асимптотической эквивалентности величии ад и Эм (см. [131]). Оказывается, что в классе оценок а, построенных на основе у-квантильпых размахов, величина од не является оптимальной в смысле предельной дисперсии. Дисперсия предельного нормального закона в теореме 1.2 при использовании в качестве оценки о величины
5,= х„д„-хвд,-,, (Ы27)

где Хдг/2,9 и Х^/2л~я - выборочные квантили порядка д и 1 — у, построенные по выборке из половины всех вейвлет-коэффициентов па уровне 7 — 1 (Ы = 2’1), а £я - теоретическая квантиль порядка д стандартного нормального распределения, равна
Т2 = ~ (1-4'28) ЦтЪ))
Минимум выражения (1.4-28) достигается при д и 0.931 (£, » 1.4821/.
При использовании в качестве оценки а величины ая оценки скорости сходимости с точностью до мультипликативных констант останутся такими же, как в теореме 1
1.5 Предельные теоремы для оценки риска пороговой обработки в методе ЗигеБЬгшк
Как уже отмечалось, при выборе универсального порога риск оказывается близким к минимальному лишь асимптотически при N -^ со. При фиксированном N в общем случае универсальный порог не является оптимальным, и при выборе более низкого порога риск оказывается