Принцип умеренно больших уклонений для решений стохастических уравнений

• Автор: Логачёв, Артём Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 108 с.

Оглавление

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Принцип умеренно больших уклонений для случайных процессов содержащих пуассоновский шум

§1. Формулировка основного результата

§2. Вспомогательные утверждения, доказательство основной теоремы

§3. Принцип умеренно больших уклонений для стохастических

уравнений с периодическими коэффициентами

§4. Принцип умеренно больших уклонений для некоторых процессов с независимыми приращениями

§5. Принцип умеренно больших уклонений для обобщенного процесса Орнштейна-Уленбека

ГЛАВА 2. Принцип умеренно больших уклонений для случайных процессов типа телеграфного сигнала
§1. Формулировка основных результатов
§2. Вспомогательные результаты, доказательства
ГЛАВА 3. Принцип умеренно больших уклонений для решений одномерных уравнений Ито
§1. Формулировка основных результатов
§2. Вспомогательные результаты, доказательства
§3. Примеры
ГЛАВА 4. Функциональный закон повторного логарифма для стохастических интегралов Ито
§1. Формулировка основных результатов
§2. Вспомогательные результаты, доказательства
§3. Примеры
Диффузионный процесс с независимыми приращениями
Подинтегральная функция не зависит от ги Д)
Диффузионный процесс в случайной среде
Подинтегральная функция зависит от п
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
N - множество натуральных чисел;
М - множество действительных чисел;
Мт - т—мерное векторное пространство;
С[а, Ь] - пространство непрерывных на отрезке [а, Ь] функций;
Ю>[а, Ь] - пространство функций непрерывных справа и имеющих пределы слева, заданных на отрезке [а, &];
р(х,у) = sup |x(t) — y(t) I - равномерная метрика;
£є[а.Ь]
||х'(-)|| = sup x(t) - норма функции; ic(a,6]
(С [а,Ь],р) - пространство С [о, 6] с заданной на нем равномерной метрикой;
(В[а, Ь,р) - пространство В[а, Ь] с заданной на нем равномерной метрикой;
АСх-0[а, b] - пространство абсолютно непрерывных на отрезке [а, 6] функций, принимающих значение ад в левом конце отрезка;
Л/2 [о, 6] - пространство суммируемых с квадратом на отрезке [а. 6] функций;
(Y,d), (X, г) - произвольные метрические пространства;
1(A) - индикатор множества А;
© - борелевская <7—алгебра;
12 - пространство элементарных событий;
ш - элементарное событие;
Зі - поток а — алгебр;
Р - вероятностная мера;
(12,5, ЗФ Р) - стохастический базис (вероятностное пространство с заданным потоком а—алгебр);

(tk-tk-1)—>0 tk tfJ

/2(S)(i2(^_i) - ,i2(S)) - X2(s)(/2(t,_1) - /2(S))

№-i)/2(S) tk tk

-i^J x2(tk-i)~x2(s)ds+ J a-2(s)|/2(^_i)-/2(s)|ds^<
{tk—tk-1)—>0 ifc th
t-k-1 tk-

lim A a / |/2(^_i)-/2(s)|d5 = 0. (19)

Используя (17), (18), (19), получаем
S2{x) = lim sup - V
„L_ / /2(s)(js tk-
1 %2{tk-l)(tk — tk-l)
= am sup - > ~co~/~l-------------------
max^-tfc-O-^O {tteT0} 2 “ JHfc-1)
■ {?o} 22 / Vm-o /2(*)У 2У /2(S)s
1 f i’2(s)
-2Jmds-a

Перейдем к доказательству теоремы 1.
Доказательство. Рассмотрим последовательность случайных процессов

Vn{t) = x0 + J a(s)ds + fjn(t). (20)

Используя теорему 2.4 [75] "contraction principle", найдем функционал действия для последовательности (20). В качестве непрерывного отображения