Сингулярно возмущенные задачи в случае пересечения корней вырожденного уравнения

• Автор: Костин, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 110 с.

Содержание
Введение

Краткое содержание работы

Глава 1. Сингулярно возмущенные системы ОДУ в случае пересечения корней вырожденного уравнения
§1. Краевая задача для системы быстрого и медленного ОДУ второго порядка в случае, когда правая часть не зависит от малого параметра

1. Постановка задачи и основные результаты

2. Существование и асимптотика решения задачи (1.1), (1.2)

3. Асимптотическая устойчивость стационарного решения параболической задачи

4. Пример

§2. Начальная задача для системы двух быстрых ОДУ первого порядка в случае,

когда правая часть зависит от малого параметра

1. Постановка задачи и основной результат
2. Существование и асимптотика решения задачи (1.88), (1.89)
3. Завершение доказательства теоремы
4. Пример
§3. Краевая задача для системы двух быстрых ОДУ второго порядка в случае,
когда правая часть зависит от малого параметра
1. Постановка задачи и основной результат
2. Существование и асимптотика решения задачи (1.117), (1.118)
Глава 2. Сингулярно возмущенные системы уравнений эллиптического и параболического типов в случае пересечения корней вырожденного уравнения
§1. Система быстрого и медленного уравнений эллиптического типа
1. Постановка задачи и основные результаты
2. Существование и асимптотика решения задачи (2.1), (2.2)
3. Асимптотическая устойчивость стационарного решения параболической задачи
§2. Система двух параболических уравнений, вырождающаяся в систему конечного уравнения и ОДУ первого порядка
1. Постановка задачи и основной результат
2. Существование и асимптотика решения задачи (2.69), (2.70)
3. Пример
§3. Система двух быстрых параболических уравнений, вырождающаяся в систему

двух конечных уравнений
1. Постановка задачи и основной результат
2. Существование и асимптотика решения задачи (2.124), (2.126)
3. Пример
Глава 3. Сингулярно возмущенные частично диссипативные системы реакции-диффузии в случае пересечения корней вырожденного уравнения
§1. Частично диссипативная система быстрого и медленного уравнений
1. Постановка задачи и основной результат
2. Существование и асимптотика решения задачи (3.4), (3.5)
§2. Частично диссипативная система двух быстрых уравнений (случай
пересекающихся корней в диффузионном уравнении)
1. Постановка задачи и основной результат
2. Существование и асимптотика решения задачи (3.20), (3.21)
§3. Частично диссипативная система двух быстрых уравнений (случай
пересекающихся корней в бездиффузионном уравнении)
1. Постановка задачи и основной результат
2. Существование и асимптотика решения задачи (3.44), (3.45)
3. Пример
Заключение
Список литературы

Введение
Математические модели многих процессов в физике, химии, биологии, социологии содержат дифференциальные уравнения с малыми параметрами. Пренебречь малым параметром и, тем самым, упростить поставленную задачу можно не всегда. Примером служат сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр в виде множителя при старшей производной. Решение такого уравнения при значениях малого параметра, близких к нулю, вообще говоря, не является равномерно близким к решению более простого вырожденного уравнения. Исследование сингулярно возмущенных задач сформировалось в большое направление на основе работ А.Н. Тихонова [1]-[3] и получило дальнейшее развитие в работах его учеников [4]-[6] и многих других ученых [7]-[22].
Большинство классических работ, посвященных исследованию сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, рассматривают случай, когда вырожденное уравнение имеет один или несколько изолированных корней. В последнее время активно исследуется более сложный случай - когда корни вырожденного уравнения пересекаются (см. [23]-[45]). Необходимость рассмотрения такой ситуации появилась в химической кинетике при моделировании быстрых бимолекулярных реакций. Например, в работе [261 описана система параболических уравнений, моделирующая бимолекулярную реакцию с быстрой бимолекулярной скоростью реакции г(и.у)/е2 и медленными мономолекулярными скоростями реакции gx(u) И £2(у)
где и и V - искомые концентрации веществ А и В, известные функции 1 а(х) и 1Ь(х) описывают источники этих веществ, е - малый параметр.
В стационарном случае система (В.1) записывается как
г(ы,у)
г (и, у)
(В.1)
Є2 = -Є2 и а М - (и)) + г{ и,у) ,
(В .2)
Є2 = -Є2 {1Ь (*) - І2 О)) + г(и, У)
После замены переменных и = и , у = и — V система (В.2) сводится к системе
Є2 тУг = -£2 и а О) - £і (")) + г(и,и- у),

I(р{у,х) - корень уравнения (1.73), функция Н(и,У,х,£) определена равенством (1.92), А, А , В - положительные числа.
Покажем, что можно выбрать эти числа так, что Ц, V и V, V, определенные формулами (1.99), при достаточно малых 8 не будут упорядоченными нижним и верхним решениями задачи (1.88), (1.89).
Очевидно выполнение второго неравенства 1°) из определения 1.3. Для проверки первого неравенства запишем разность функций и{х,е) и Ц(х,е) : и -Ц = <р„ (V + в(у - V),х)[В + В]£Х11 + [(1 + а)А + А]е, где 0 е [0,1]. В силу условий В2, В6 и оценок (1.93) при достаточно малых е выполняется неравенство
<р,(у,х) = - (их),у,у,0) о при хе[х0-8,ха+8. (1.101)
иЛФ’Х),у,х,0)
Поэтому <рг(У + 0(У -У),х)>0 и и-и>0, т. е. первое неравенство 1°) из определения
1.3 выполняется.
Замечание 1.5. В силу условия квазимонотонности функций g \ / (условие Вь) вместо условий 2°) и 3°) в определении 1.3 достаточно потребовать выполнение неравенств
4.(П,П<0<4({/,П), (1.102)
М(Г,и)<0<М(У,и). (1.103)
Перейдем к проверке неравенств (1.102) и (1.103).
ЬАи.,У) = е2{<рЪх +(рх -74сг’е} +
(1.104)
+ [&(>, К, х,0) - gu (у, х,0)(Л + (X Л)е + ge {(р, V, Х,0)£ + о(£)],
где (р = <р(У_(х,е),х) и такой же смысл нмеют обозначения (р и <р . Первое слагаемое в квадратных скобках в правой части равенства (1.104) равно нулю, т. к. (р{у,х) - корень уравнения (1.73). В силу оценок (1.93), (1.94), (1.96) получаем
Д.(Ц,V) = f:-g и (х0)А + (х0)]- (х0)аАе + 0(8е) при хе(х0- 8,х0 + О].
Учитывая неравенство (1.75), можно выбрать число А таким, чтобы выполнялось условие
&(х0)А-£1!(х0)>0. (1.105)
Тогда, т. к. сг(х) > 0 при х е (х0 -8,х0 +8], то при достаточно малых 8 и £ и любом положительном А выполняется неравенство