Развитие асимптотических методов в моделях реакция - диффузия и их приложения в задачах о межфазовых переходах

• Автор: Божевольнов, Юстислав Владиславович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с. : ил.

Оглавление
1 Введение

1.1 Актуальность темы диссертации

1.1.1 Научная новизна

1.1.2 Практическая значимость работы

1.2 Метод пограничных функций и метод дифференциальных

неравенств

1.3 Содержание диссертации

1.3.1 Пограничные слои в системе реакция — диффузия .

1.3.2 Внутренние слои в системе реакция — диффузия

1.3.3 Движение фронта в уравнении реакция — диффузия

1.3.4 Движение всгшсска в уравнении реакция — диффузия
1.3.5 Приложение асимптотических методов к описанию фазового перехода
1.4 Защищаемые положения
2 Пограничные слои в системе реакция — диффузия
2.1 Постановка задачи
2.2 Алгоритм построения асимптотики
2.3 Основной результат
2.4 Исследование устойчивости
3 Внутренние слои в системе реакция — диффузия
3.1 Постановка задачи
3.2 Методология. Левая и правая задачи.
Условие гладкого сшивания производных
3.3 Дополнительные предположения
3.4 Нулевое приближение
3.5 Первое и высшие приближения
3.6 Существование решения
3.6.1 Верхнее и нижнее решения
3.6.2 Обоснование

Оглавление
3.7 Устойчивость стационарных решений
4 Движение фронта в уравнении реакция — диффузия
4.1 Постановка задачи
4.2 Формальное построение асимптотического ряда
4.2.1 Формализм метода пограничных функций
4.2.2 Условие гладкого сшивания асимптотик
4.2.3 Старший порядок асимптотики
4.2.4 Построение асимптотики первого порядка
4.3 Существование решения
4.3.1 Метод дифференциальных неравенств
4.3.2 Верхнее и нижнее решения. Обоснования
4.3.3 Результат
5 Движение всплеска в уравнении реакция — диффузия
5.1 Постановка задачи
5.1.1 Условие разрешимости вырожденного уравнения
5.1.2 Условие возможности существования всплеска
5.1.3 Условие, характеризующее положение всплеска
5.2 Построение формальной асимптотики
5.2.1 Формализм. Обозначения
5.2.2 Формальные уравнения
5.2.3 Старшее приближение
5.2.4 Первое приближение
5.2.5 Старший порядок положения всплеска
5.2.6 Всплеск во втором приближении
5.2.7 Положение всплеска в первом приближении
5.2.8 Приложение
6 Приложения асимптотических методов
к описанию фазового перехода
6.1 Математическая модель
6.2 Интерпретация модели
6.3 Микроскоп контрастных структур
7 Заключение
Литература
Глава
Введение
Наличие малого параметра при старших производных в уравнениях типа реакция — диффузия приводит к возможности существования быстро меняющихся в малой пространственной области решений — контрастных структур.
В работе рассмотрены некоторые классы задач, получены асимптотические разложения решений, для которых доказаны теоремы существования. Исследование основано на применении и развитии метода пограничных функций (см. [1, 2, 3, 4]) и асимптотического метода дифференциальных неравенств (см, [5]).
Математический аппарат теории контрастных структур днашел приложение в описании процессов синтеза и автосепарации в химически активированной плазме. Здесь надо отметить, что до сих пор не ясны фундаментальные механизмы таких явлений (см. [6]). На основе теории контрастных структур рассмотрен процесс фазового разделения (см. [7, 8]) и предложена соответствующая модель. Это позволило дать качественное описание явления и предсказать некоторые свойства процессов синтеза и релаксации.
1.1 Актуальность темы диссертации
Диссертация посвящена исследованию существования и устойчивости стационарных решений типа контрастных структур и описанию движения (эволюции) контрастных структур в важных для приложений начально-краевых задач для уравнений реакция — диффузия.
Теоретические исследования в области асимптотических методов в теории сингулярных возмущений ведутся довольно давно. Их начало положено классическими работами А. Н. Тихонова [9, 10, 11], А. Б. Ва-

Глава 2. Пограничные слои в системе реакция — диффузия

511<£(р, I) = ди(р)П<£(р, /) + Я^(р, /) + Г’а(р), Р > О,
По условию 4 выражение в квадратных скобках строго больше нуля, экспонента положительна. Неравенство, как и в прошлый раз, достигается выбором 7. Взяв максимальное из двух значений, удовлетворим неравенству внутри всей области П.
Упорядоченность а“ и а“ следует из свойств добавок Пн“+1 и Пм^+1. Убедимся в этом. Введем обозначение
г{р, I) = Ш4+1(р, I) - П<+1(р, I),
с учетом которого требование упорядоченности /3“(ж) — а£(х) > 0 при х £ Г2 сводится к неравенству г(р, I) > 0 при р > 0. По построению (требования (2.16) и (2.17)) П’«“+1 — решения следующих задач:

п<^(0,0 = -йп+1(0,0,
П<£(оо,/)=0,
где фа = Се~кр я фР = —Се~кр, а Еа’Р — обозначение соответствующих правых частей (см. (2.17)). Тогда 2 является решением задачи
!^(р, 0 = оЛрЫр, I) + Е?(р, I) - Еа(р, I) - 2Се~кр, р > 0, др
г(0,0 = 0,
2(00, /) = 0,
Воспользуемся формулой (2.13), получим
г(р) =—и>(р) J и>~2(т) У ш(о)[еР((т) — Еа(сг) — 2Се~ка'^<1сг<1т.
Функция ш(р) отрицательна, т. к. Пно монотонно убывает, а ш(р) есть (по определению) производная по р от Пио- С учетом ю(р) < 0, знак г(р) определяется знаком выражения Е^{о) — Еа(гт) — 2Сс~ка, причем, как нетрудно видеть, знаки будут противоположны. Выбором достаточно большой константы С и достаточно малой положительной константы к можно добиться положительности г(р). Упорядоченность доказана. Перейдем теперь к медленной переменной. Пусть
Ш“+3(0,0 = -йп+з(0,/). (2.18)