Математическое обоснование расщепления спектра и билокализации состояний при координатном и импульсном туннелировании в одномерных квантовых системах

• Автор: Выборный, Евгений Викторович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 120 с.

Оглавление
Введение
1 Туннельные эффекты в одномерных системах с дискретным спектром. Обзор результатов и проблем
1.1 Квазиклассическое приближение без учета туннелирования
1.2 Двуямный потенциал на прямой
1.3 Динамическое туннелирование на окружности
1.4 Постановка задач
2 Туннелирование в несимметричной двойной яме
2.1 Критерий билокализации волновых функций
2.2 Случай энергии, близкой к минимуму потенциала
2.3 Сравнение амплитуд расщепления для высоких и низких энергетических уровней
2.4 Динамика частицы в случае резонансного туннелирования
2.5 Примеры резонансного туннелирования в несимметричном потенциале
2.6 Эффект туннельного захвата состояния
2.7 Туннельное возмущение спектра
2.8 Применение метода туннельного возмущения
2.9 Некоторые свойства линейных операторов
3 Туннелирование в импульсном пространстве
3.1 Операторная формула
3.2 Общая структура спектра для частицы на окружности
3.3 Уравнение Шредингера с периодическим потенциалом на прямой

3.4 Туннельное расщепление энергий для частицы на
окружности
3.5 Квантовый маятник
Заключение
Литература

Введение
Тема исследования и ее актуальность
Туннельный эффект является одним из базовых квантово-механических эффектов и играет существенную роль в различных областях современной физики, в том числе в квантовой теории поля, спектроскопии молекул, а также в квантовой химии и некоторых вопросах биологии. Задача об аналитическом описании туннельных эффектов для различных квантово-механических моделей имеет богатую историю, которая берет свое начало с момента становления квантовой механики [91,110]. Детальный обзор классических результатов и приложений изложен, например, в книгах [20,51,54,103]. Современный рост интереса к изучению квантового туннелирования связан также с прогрессом в наноэлектронике (см., например, [22)), где возникает возможность использования квантовых эффектов для качественно новых технологий, например, туннелирование в управляемом двуямном потенциале часто используется как модель построения кубитов [65,69,72].
Одним из проявлений туннельного эффекта является проникновение квантовой частицы через потенциальный барьер, разделяющий две области классического движения в конфигурационном пространстве, — так называемое координатное туннелирование. Например, в симметричном двуямном потенциале туннелирование через потенциальный барьер приводит к малому расщеплению энергетических уровней и двойной локализации волновых функций стационарных состояний квантовой частицы.
Другим проявлением туннельного эффекта является отражение квантовой частицы при движении выше потенциального барьера, которое также можно рассматривать как туннелирование через классически запрещенную область (барьер) в импульсном представлении [64,92,98]. Одним из проявлений импульс-

Глава
Туннелирование в несимметричной двойной яме
В данной главе, с точки зрения эффектов туннелирования, рассматривается квазиклассическая асимптотика дискретного спектра и соответствующих стационарных состояний одномерного уравнения Шредингера на прямой (1.1):
Л'^+УШ=щ’
где У(х) — гладкий действительный потенциал. Спектр оператора Шредингера рассматривается вблизи некоторой фиксированной энергии Е, для которой потенциал У{х) можно считать двуямным. В разделе 2.1 построен критерий двойной локализации собственных функций в случае несимметричного потенциала и получена асимптотическая формула для величины туннельного расщепления соответствующего энергетического уровня. Аналогичный результат для случая энергий, близких к невырожденному минимуму потенциала, представлен в разделе 2.2, а в разделе 2.3 проведено сравнение полученных формул для высоких и низких энергетических уровней.
Билокализованные стационарные состояния в двуямном потенциале представляют большой интерес, поскольку они приводят к возникновению туннельных переходов (туннельной транспортации) состояний, локализованных только в одной яме в начальный момент времени. Детальное описание динамики состояния в двойной яме при туннельном резонансе дано в разделе 2.4, а в разделе 2.5 приведен ряд простых примеров.
В разделе 2.6 рассмотрена задача о возникновении эффекта туннельного захвата и туннельной транспортации состояния из заданной финитной потенциальной ямы в пробную прямоугольную потенциальную яму. В этом случае