Представление решений одного класса релаксационных кинетических уравнений интегралами типа Коши

• Автор: Рындина, Светлана Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 120 с. : ил.

Глава 1 Решение модельных кинетических уравнений в пространствах Лебега

1.1 Кинетическое уравнение. Собственные функции и собственные значения соответствующего характеристического
уравнения

1.2 Свойства собственных функций характеристического уравнения

1.3 Каноническая факторизующая функция

1.4 С-преобразования и их свойства

1.5 Разложение единицы для оператора переноса. Резольвента и

её свойства

1.6 Граничные задачи

1.7 Случай неограниченного оператора переноса

1.8 Разложение решения в случае БКВ-уравнсния

Заключительные замечания
Глава 2 Нестационарное модельное уравнение
2.1 Постановка задачи. Сведение к стационарному уравнению
2.2 Индекс краевой задачи Римана
2.3 Связь собственных функций непрерывного и дискретного спектров

2.4 Граничная задача
2.5 Предельные случаи
2.6 Представление решения граничной задачи интегралами типа Коши
Заключительные замечания
Глава 3 Решение общей граничной задачи
3.1 Постановка задачи
3.2 Характеристическое уравнение. Дисперсионная матрица.
Дисперсионная функция и их свойства
3.3 Факторизация матричного коэффициента
3.4 Теорема о разложении решения по собственным векторам
Заключительные замечания
Библиография

Актуальность темы. Значительное число физических процессов описывается с помощью интегро-дифференциальных уравнений. Линейные интсгро-лнфферсициальныс уравнения переноса применяются в нейтронной физике, в задачах изучения стационарных, миогоэнергетических и изотропных процессов переноса, а также в кинетической теории. Точные решения можно получить для тех граничных задач, которые сводятся к одномерным и односкоростным уравнениям, либо скалярным, либо векторным с полиномиальными ядрами.
Предметом исследования диссертации является линейное интегро-дифференциальное кинетическое уравнение, выведенное Вильямсом М.М.Р. в % 1971 году
Вильямс М.М.Р. получил уравнение (0.1) на основании релаксационного кинетического уравнения с частотой столкновений молекул пропорциональной модулю молекулярной скорости.
При моделировании различных физических процессов возникает целый ряд уравнений вида (0.1), для которых поставлены граничные задачи, с заданными начальным условием и асимптотикой на бесконечности.
Общие приемы, использованные при исследовании моделей уравнения (0.1), - это применение метода Фурье для разделения переменных в рассматриваемой модели уравнения, сведение кинетического уравнения к характеристическому, с последующим решением его в пространстве обобщенных функций. Решение вспомогательной однородной краевой задачи Римана (возникающей при решении полупространственных граничных задач), соответствующей полученному характеристическому уравнению, в классе мероморфных функций.
При исследовании скалярных моделей уравнения (0.1):
(0.1)

' ^ 1 р(с) = л~>,2сс~‘ , А(с,с') = 1+ —сс'+ —(с2-2)(с'2-2).
(0.2)
Введем обозначение

(7.16)
(7.17)
) /1 2
Умножим (7.17) на — —, проинтегрируем но р ог-1 до 1, получим
Д-;
,_!£ f.s'd-.s-’)— = t^lZlW!idfl. (7.18)
И~- -1 Д~-

V ds
I Я
/т(1-д2)у/(д)
Заметим, что I - — jV(I -С)-V-L = -:2)Я1(:)
4 х - _ 2
Тогда из равенства (7.18) получаем
Г bl 2 Ч/(Д) ]
Iд (1-// ) d/i
д - г J
, <А
1 Д~;

. .2 ./ ( Д )
) “ ,
//-Г ->
|хЛ1-д>(д)(///_ (719)
Рассмотрим интеграл
гд (1-д-)у/(д) , г 2, / I
J — d/i= J,// (I — // )у/(дУд +
-1 “
+: |д(1 - /г )ИД)<(Д + -2 /Д(1 - Д2 МД )-^ - (7.20)
-I -I А“ Г
Первые два интеграла в правой части (7.20) равны нулю, гак как у/(д) е . Следовательно,

■-д
V'/---г
2/5+2г-<1J
д-(1 —д')Ид) /1
11/1
Спектр оператора А”1 может быть получен из выражения для резольвенты (7.11): о(А"')=[-1,1]. Из формулы (7.11) видно, что резольвента исчезает на бесконечности
/. (г) = —“ + со, ПОЭТОМУ ; = сот! , Ы -> со,
3.- (--V м ' 2/5+2е-(1-г-)21(г)
| , lim Ul -д:)у/(д)-~— - 0.
Д-е