Обратные задачи для уравнений эллиптического и параболического типов в пространствах Гёльдера

• Автор: Соловьев, Вячеслав Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 291 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Обозначения, соглашения, пространства функций

Введение

Глава 1. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИСТОЧНИКА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

1.1. Определение функциональных пространств Гёльдера.

Теоремы разрешимости для строго эллиптического уравнения в пространствах Гёльдера. Принцип максимума

для уравнений эллиптического типа и следствия из него

1.2. Постановка обратной задачи определения источника

для эллиптического уравнения в области, удовлетворяющей

условию (А). Теоремы единственности решения прямой задачи

в области, удовлетворяющей условию (А)

1.3. Единственность решения обратной задачи определения источника
в пространстве функций f7(ß)xF(D) с переопределением внутри области
1.4. Единственность решения обратной задачи определения источника для эллиптического уравнения в пространстве функций
U(Q.)xF(ß) с переопределением внутри области для цилшщра
1.5. Единственность решения обратной задачи определения источника для эллиптического уравнения с дивергентной формой оператора
Lx и «скалярной» формой источника в цилиндре
1.6. Единственность решения обратной задачи определения источника для эллиптического уравнения в области,
симметричной относительно плоскости переопределения
1.7. Единственность решения обратной задачи определения источника для эллиптического уравнения в цилиндре симметричном относительно плоскости переопределения
1.8. Единственность решений обратных задач определения источника с переопределением на границе
1.9.Альтернатива Фредгольма для обратной задачи определения источника в эллиптическом уравнении с переопределением внутри области, удовлетворяющей условию (А) в пространстве функций 7/, (Q) х C“ (D)
1.10.Достаточные условия существования единственного решения для обратной задачи определения источника с переопределением
внутри области в пространстве функцнйС/](0)хС<г(0)
1.11 .Альтернатива Фредгольма для обратной задачи определения источника в в эллиптическом уравнении с переопределением внутри цилиндра в
пространстве функций U(£2) х F(D). Следствие
1.12.Альтернатива Фредгольма для обратной задачи определения источника в
эллиптическом уравнении с переопределением на границе
ПЗ.Достаточные условия существования единственного решения обратной задачи определения источника с переопределением на границе в
пространстве функций f/j (£2_) х C“ (D)

1.14.Альтернатива Фредгсшьма для обратной задачи определения источника в эллиптическом уравнении с переопределением на границе в
пространстве функций С/(С1_) х Б(Б) .Следствия
1.15.Литературные ссылки и комментарии
Глава 2. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
2.1. Постановка обратной задачи определения коэффициента в эллиптическом уравнении с переопределением внутри области, удовлетворяющей условию (А). Единственность решения обратной задачи определения коэффициента в области, удовлетворяющей условию (Б)
2.2. Единственность решения обратной задачи определения коэффициента для эллиптического уравнения в цилиндре с переопределением внутри области
2.3. Единственность решения обратной задачи определения коэффициента
в цилиндре симметричном относительно плоскости переопределения
2.4. Единственность решения обратной задачи определения
коэффициента с переопределением на границе области
2.5. Существование решения обратной задачи определения
коэффициета для эллиптического уравнения в цилиндре
2.6. Существование решения обратной задачи определения коэффициигга в эллиптическом уравнении в цилиндре
с переопределением на границе
2.7.Литературные ссыпки и комментарии
Глава 3. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕМ НА ВЕРХНЕЙ КРЫШКЕ
3.1. Определение пространств функций Гёльдера для функций, зависящих отх, /. Необходимые сведения о разрешимости
прямой задачи. Априорные оценки для решения прямой задачи
3.2. Единственность решения обратной задачи определения источника
(случай старших коэффициентов не зависящих от времени)
3.3. Единственность решения обратной задачи определения источника
для случая старших коэффициентов, зависящих от времени
3.4. Достаточные условия единственности решения обратной задачи
определения источника, связанные с малостью области
3.5. Единственность решения обратной задачи определения источника -
случай отрицательного коэффициента перед и
3.6. Альтернатива Фредгольма и теоремы существования решения
для задачи определения источника
3.7. Обратные задачи определения коэффициента
3.8. Достаточные условия существования решения обратной задачи определения коэффициета в параболическом уравнении
3.9. Определение коэффициента в полулинейном уравнении
параболического типа (случай зависимости от а)

3.10. Определение коэффициента в полулинейном уравнении
параболического типа (нелинейность зависит от щ)
3.11. Литературные ссылки и комментарии
Глава 4. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕМ В ТОЧКАХ
4.1. Обратные задачи определения источника с переопределением в точках
в случае задачи Коши
4.2. Единственность решения обратной задачи для линейного уравнения параболического типа в случае задачи Коши
4.3. Единственность решения обратной задачи для параболического
уравнения в случае краевой задачи
4.4. Единственность решения обратной задачи определения
правой части для нелинейного уравнения в случае краевой задачи
4.5. Существование решения обратной задачи определения правой части
в случае задачи Коши
4.6. Существование решения обратной задачи определения правой части параболического уравнения в случае первой краевой задачи
4.7.Существование решения обратной задачи определения источника в полулинейном уравнении с переопределением в точке
4.8.Литературные ссылки и комментарии
Список литературы

Рассмотрим краевую задачу определения функции соеС2(D)nC(D) из условий (1ю)(х,Г) = 0, со(х) = 0, х edD. Будем говорить, что для оператора L выполнено условие (А), если задача определения функции со из этих условий имеет только тривиальное решение.
Для обратной задачи (В.57)-{В.58) справедлива следующая теорема.
Теорема 3.6.1. Пусть для коэффициентов оператора L и функции h справедливы условия гладкости a:J,b,,c,И,{а:,),,(Ъ,),, с,, А, е Са'аП(Qr), выполнено условие (А), выполнено неравенство | h(x,T) >hT> 0, х е D. Тогда для обратной задачи (В.57)-(В.58) справедлива альтернатива Фредгольма в смысле эквивалентности двух утверждений:
1) задача (В.57)-(В.58) имеет при g = О, ср = 0, X = О, р = О только тривиальное решение;
2) задача (В.57)-(В.58) имеет единственное решение («,/) е C',(Qr) х Ca(D) для любых функций ср,%eC2’a(D), р е С2шМа12(Гт), geCaa/2(DT), удовлетворяющих условиям согласования первого порядка.
В качестве следствия альтернативы Фредгольма (теоремы 3.6.1) и доказанных ранее теорем единственности для обратной задачи определения источника приведем формулировки теорем существования и единственности решений, следующие из этих теорем.
Теорема 3.6.2. Пусть для коэффициентов оператора L и функции h справедливы условия гладкости av, b, е Са(1У), р, р,, с, Ci, h, ht е C“’a/2(£2r), выполнены неравенства е(х,/)<0, c,(x,t)> 0, h(x,t)ht{ х,/)>0, h(x,l)>hr>0, х е D . Тогда задача (В.57)-(В.58) имеет единственное решение для любых функций ф, у е С2,а(0), р е С2+а,1+“/2(Гг), g е Са,а/2(QT), удовлетворяющих условиям согласования до первого порядка:
ХО) = р(*,Г), ф(х) = р(х,0),
(р(х, 0)р, (х, 0) - (L = (р(х,7’)р,(х,Г) - (Lyjx,0) - g(x,0))/!(x,0), х е oD.
Теорема 3.6.4. Пусть для коэффициентов оператора L и функции h справедливы условия гладкости аи, b, е Ca(D), с, с,, /г, h,e Са,а,2(Пт), выполнено неравенство h(x,t)>lij. >0. Тогда существует такая постоянная d0> 0 (сГа > 0), что для любой области D' с D с границей класса С2,а, такой, что
diam£>' Х(х) = р(х, Т), ф(х) = р(х, 0),
(р, (х, 0) - (7ф)(х, 0) - g(x, 0))й(х, Т) =
= (р, (х,Т)~ (L%){x,T) - g(x,T))h(x, 0), х е dD'.