Стабилизация решений анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью в неограниченных областях

• Автор: Леонтьев, Алексей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление
Введение

I. Допустимая скорость убывания решения

1.1. Теорема существования

1.1.1. Формулировка теоремы существования

1.1.2. Предварительные леммы

1.1.3. Доказательство теоремы существования

1.2. Оценки снизу

1.2.1. Случай к 6 (1,2)

1.2.2. Случай к >

1.2.3. Неограниченная область Г

II. Оценки сверху
2.1. Оценки сверху для уравнения второго порядка
2.1.1. Ограниченность решения
2.1.2. Доказательство оценок при х3 —£ оо
2.1.3. Доказательство оценки при £ —> оо
2.2. Оценки сверху для уравнения высокого порядка
2.2.1. Вспомогательные неравенства
2.2.2. Доказательство оценки при £ —> оо
2.3. Оценки сверху для областей вращения
2.3.1. Примеры для уравнения второго порядка
2.3.2. Примеры для уравнения высокого порядка
Литература

Введение
Данная работа посвящена исследованию скорости убывания решений анизотропных параболических уравнений высокого порядка с двойной нелинейностью в неограниченных областях при больших значениях времени. Изучению поведения па бесконечности решений задачи Коши и смешанных задач для эволюционных линейных и нелинейных уравнений (систем) посвящено большое число работ. Эта проблема ввиду многообразия качественных свойств эволюционных систем имеет различные аспекты. В диссертации исследуется стабилизация решений первой смешанной задачи в цилиндрической области /) = {£>0}хГ2в зависимости от параметров нелинейностей анизотропного уравнения и геометрии неограниченной области лежащей в основании цилиндра.
Изучение скорости убывания решений смешанных задач для параболических уравнений при больших значениях времени в случае неограниченных областей, когда начальная функция ограничена в одной из Ьр -норм, было начато А.К. Гущиным. В работах [7], [8] он установил точные оценки решений второй смешанной задачи для линейного уравнения второго порядка
в широком классе неограниченных областей в терминах простой геометрической характеристики v(r) = mes Г2(г), Q(r) = {х Є О, | |х| < г}.
Как показано в работах А.К. Гущина [7], [8], A.B. Лежнева [33], для уравнения теплопроводности в случае второй смешанной задачи с финитной начальной функцией происходит "равномерное распространение

(0.1)
а, ß=l

тепла" по области, состоящей из точек, удаленных от ее носителя на расстояние Д. В работах [53]—[55], [45] рассматривались смешанные задачи для параболического уравнения (0.1) в нецилиндрических областях. А именно, в [55] и [45] для первой смешанной задачи в предположении ограниченности сечений области плоскостями t = const получены оценки скорости стабилизации решения в терминах первого собственного значения соответствующего эллиптического оператора на этих сечениях. В работах [53], [54] В.И. Ушаковым в предположении, что нецилиндрическая область расширяется при возрастании времени, установлена справедливость результатов, близких к приведенным выше, для случая третьей смешанной задачи; при этом рассматривалось краевое условие, обеспечивающее сохранение энергии.
Ф.Х. Мукминовым, Л.М. Кожевниковой в работах [41], [24] в терминах некоторых геометрических характеристик получены точные оценки поведения решения первой смешанной задачи для уравнения (0.1).
Ф.Х. Мукминов, И.М. Биккулов в [4] исследовали стабилизацию решения задачи Риккье для уравнений 4-го и 6-го порядков. Ими получена оценка Li - нормы решения при t оо и установлена ее точность по порядку стремления к нулю.
В.Ф. Гилимшиной, Ф.Х. Мукминовым в [5], [6] для линейного вырождающегося параболического уравнения второго порядка рассматривалась начально-краевая задача с чередующимися граничными условиями первого и третьего типов. Установлены двусторонние оценки скорости убывания решения при t —> оо в зависимости от коэффициентов уравнения и геометрии неограниченной области.
Далее подробно рассмотрим некоторые результаты для квазилинейных параболических уравнений.
В работе А.Ф. Тедеева [47] была получена оценка сверху Ьг-нормы решения первой смешанной задачи для квазилинейного параболического

Покажем, что все возможные решения задачи (1.18), (1.23) равномерно ограничены при £ > 0. Действительно, пользуясь (1.29), для Ь > 0 выводим

ХХюр = ц«"(*)ц2 =

[ им(і)ким(і)2-к<1х < \им(і)ІІ^тах
J ХЄІМ

X] с¥ (*Шх)

<Ег Еі'І'М!2 /=
(2-Ц/2 / и ч (2-4/

Откуда имеем
/ М к/2 / М (2-^')/
^<1)1* < (Е |с"(«)р) . ( = ш
Ввиду непрерывности правой части уравнений (1.23), существуют абсо-
лютно непрерывные функции Ь Є [0, оо), г — 1, М, которые почти
всюду удовлетворяют системе (1.23) и начальному условию (1.18) (см. [46, гл. VIII, §8, теорема Каратеодори]).
Умножим теперь уравнение (1.21) на —с^(і) и затем все уравнения сложим по j от 1 до М, в результате получим равенства
(((иМ)к/2 , и]?)+ХХ (°а ({адМ}а) {иМ}а, {и¥}а) — 0, М — 1, ОО,

которые можно переписать в виде
(к - 1)\{юм)к^хи^им\2 + єм^\(им)к/і~1иї'І\2+

М = 1, оо.
(1.31)
0=1 п
После интегрирования от 0 до і, пользуясь (1.14), будем иметь
(к - 1)||(0*/4-Ч"и"111. + г"ф|{<2’м)‘/4_1“"11Ь.+