Симметрия уравнений нечётных порядков

• Автор: Хоанг Нгы Хуан
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 109 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Глава 1. Классические симметрийные теории

1.1. Групповой анализ (теория Ли)

1.2. Первые интегралы

1.3. Вариационная (нётерова) симметрия

Глава 2. Аналог нётеровой симметрии класса уравнений 3-го по-

рядка, не содержащих “предстаршей” производной у"

2.1. Группа преобразований эквивалентности

2.2. Аналог нётеровой симметрии уравнения вида у"' = Р(у)

2.3. Аналог нётеровой симметрии уравнения вида у"' — Е(у, у') .
Глава 3. Симметрия расширенного класса уравнений 3-го поряд-

3.1. Некоторые уравнения с правой частью, содержащей все про-

межуточные производные
3.2. Уравнения с правой частью, не содержащей первой производ-

Заключение
Список литературы

Введение
Работа посвящена решению обратной задачи группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений 3-го порядка, причём ищутся подклассы уравнений, имеющих первый интеграл, который “наследует” симметрию самого уравнения. Иными словами, проводится поиск подклассов уравнений, обладающих аналогом нётеровой (или вариационной) симметрии.
Актуальность темы. Известно, что под симметрией понимается свойство объекта оставаться инвариантным под действием какого-либо преобразования. Симметрия широко распространена в природе, исследуется во всех областях естественных наук, и её изучение во многих случаях является эффективным методом исследования. В математическом моделировании симметрия, наряду с законами сохранения, играет роль фундаментального закона природы.
В области дифференциальных уравнений (ДУ) симметрийные методы возникли в XIX веке, когда Софус Ли (1842 - 1899), наиболее известные работы которого [40], [41] опубликованы в конце XIX века, предложил регулярный алгоритм группового анализа для классификации и поиска решений обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). К сожалению, в начале XX века широкая научная общественность не проявила должного внимания к идеям С. Ли, хотя известно несколько содержательных работ в этой области [36], [38]. Однако подлинный расцвет симметрийного подхода к ДУ произошёл полвека спустя, когда Л. В. Овсянников [24], [25] успешно применил групповой анализ к исследованию нелинейных уравнений с частными производными, что позволило найти в явном виде большое число физически значимых решений модельных уравнений в различных областях прикладной науки (механика, гидродинамика, нелинейная оптика и др.). В теории ОДУ была найдена глубокая

связь между различными типами симметрий - непрерывными группами преобразований (группами Ли) и первыми интегралами (законами сохранения): смысл теоремы Нетер в теории ОДУ состоит в том, что при определённых условиях симметрия исходного уравнения “наследуется” первым интегралом, и наличие одной вариационной симметрии позволяет понизить порядок уравнения сразу на две единицы.
Однако вариационная симметрия определена лишь для уравнений чётного порядка, и попытки ввести гамильтонову структуру на ОДУ нечётных порядков не привели к положительному результату (с точки зрения интегрируемости). Поэтому с временем сложилось впечатление, что аналогичной структуры симметрии для уравнения нечётных порядков не существует. Очевидно, это не так - в качестве контрпримера можно привести простое уравнение 3-го порядка
т. е. симметрия этого уравнения абсолютно аналогична вариационной в том смысле, что первый интеграл её “наследует”, позволяя с её помощью понизить порядок исходного уравнения сразу на две единицы.
В данный момент известны 2 работы, посвящённые аналогам вариационной симметрии. В 1989 г. С. П. Царёв опубликовал статью [35], где была разработана теория вариационной симметрии для механической системы нечётных порядков. В работе получены интересные результаты и приведены строгие доказательства сформулированных теорем. Однако все содержательные выводы касаются уравнений и систем уравнений с частными производными, для обыкновенных дифференциальных уравнений существенных результатов получить не удалось.
Более интересные результаты получил П. П. Аврашков, который
(0.0.1)
которое автономно и имеет автономный первый интеграл
у" = У2 +
(0.0.2)

следующим образом

Еп{Вф) = - ]Г(-£>)1'+1 +
1=0 1=
После сокращения всех одинаковых слагаемых остаётся лишь одно:
Еп(Оф) = {-1)пОпфуЫ.
Наконец, поскольку фум — 0, получаем Фо = Еп(Оф) = 0.
Что касается остальных уравнений из (1.2.58), то подставив (1.2.54) в (1.2.55) и (1.2.56), получим
Фг = '0г,(-1), г = 1,2,..., п. (1.2.63)
Так как функция ф(х, у, у',..., у^71-1-1) не зависит от производной п-го порядка, все частные производные от ф от неё зависеть не должны. Поэтому все уравнения из (1.2.58) автоматически удовлетворились. Наряду с функциями Ф^ из (1.2.63) положим

Ф = в-^2у{1)^г (1.2.64)

с целью выделить частную производную от ф по х:
Ф = фх. (1.2.65)
Приступим к доказательству обратного утверждения. Выпишем сначала условие интегрируемости, чтобы существовала функция удовлетворяющая уравнению (1.2.54):
дФ 0Ф.
у = 0,1,... ,та - 1, г = 1,2,...,п, (1.2.67)
с>Фг: = с>Ф,+
ЭубЗ I'
, у = 0,1,..., п — 1. (1.2.68)
5Ф дФ у+
д уС?) <9ж