Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка с алгебраическими подвижными особыми точками

• Автор: Остроумов, Сергей Иванович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Вологда
• Количество страниц: 96 c. : ил

Глава I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОДВИЖНЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ УРАВНЕНИЯ (0.21)

1.1. Постановка задачи и вспомогательное преобразование

1.2. Об уравнениях (1.1.1), не имеющих однопараметрического семейства алгеброидных решений
1.3. Об уравнениях (1.1.1), имеющих в точке однопараметрическое семейство алгеброидных решений

1.4. Общий случай

Глава 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОДВИЖНЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ УРАВНЕНИЯ (0.22)

2.1. Постановка задачи

2.2. Решения со свойством (А).

2.3. Формальные решения со свойством (В)

2.4. Случай р = 2 , С0сх)

2.5. Случай р-2, Сосх),

2.6. Общий случай
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Многие задачи естествознания и техники в плане их теоретического обоснования тесно связаны с дифференциальными уравнениями, в том числе и с обыкновенными.
Основной задачей теории обыкновенных дифференциальных уравнений является задача нахождения всех решений данного уравнения. В простейших случаях все решения удается выразить через элементарные функции или представить в виде квадратур от элементарных функций. Однако такие случаи встречаются крайне редко. И до настоящего.времени решения многих дифференциальных уравнений не найдены, что сдерживает развитие ряда научных и технических задач из области исследования процессов, описываемых этими уравнениями. С другой стороны, и чисто теоретические исследования, выполненные в рамках дифференциальных уравнений, способствуют решению проблем из других отраслей науки и техники.
В конце прошлого века работы Э.Пикара и С.Ли привели к более глубокому пониманию структуры дифференциальных уравнений, позволили .их классифицировать, предвидеть случаи, когда они интегрируются в квадратурах, установить ряд свойств, которые до того казались не связанными друг с другом. Все это способствовало возникновению в теории дифференциальных уравнений задачи изучения свойств функций, определяемых дифференциальными-уравнениями, непосредственно по виду заданного уравнения независимо от интегрируемости последнего в элементарных функциях или.квадратурах..Такой подход характерен как для теории-устойчивости, основы которой заложил А.М.Ляпунов в работе "Общая задача об устойчивости движения", так и для качественной теории дифференциальных уравнений,, развитие которой во многом определила работа А.Пуанкаре "0.кривых, определяемых дифференциальными уравнениями". Этот же подход характерен и для аналитической теории дифференциальных уравнений.

Основная теорема аналитической теории дифференциальных уравнений - теорема Коши - при весьма общих предположениях гарантирует существование и единственность голоморфного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. Для доказательства этой теоремы Коши разработал несколько методов. В частности, для комплексной плоскости он применил разложение решения в ряд и метод мажорант. Голоморфное решение, построенное по Коши, можно рассматривать как элемент аналитической функции и, осуществив всевозможные аналитические продолжения этого элемента, получить полную аналитическую функцию (по Вейерштрассу),. Эту функцию и можно рассматривать как частное решение дифференциального уравнения, продолженное или на всю комплексную плоскость, или на максимально возможную естественную область существования решения. Однако построение полной аналитической функции крайне сложно. Метод же Коши не позволяет изучить особые- точки решения, конфигурация и структура которых на плоскости по сути и определяет решение.
Вопрос о поведении решений дифференциальных уравнений в окрестности особых точек впервые был поставлен Врио и Буке [51],. считавшими особыми такие точки, в которых нарушается хотя бы одно из условий теоремы Коши существования и единственности решения. Фукс же [56] особые точки решений дифференциальных уравнений разделил на два класса - неподвижные и подвижные. К неподвижным он относил те особые точки, которые можно определить по виду самого уравнения, например, особые-точки коэффициентов, а к подвижным -особые точки решения, конфигурация и характер которых меняются при переходе от одного частного решения к другому, т.е. зависят от начальных условий. В настоящее время используется термин "особые точки дифференциальных уравнений", который включает в себя как подвижные, так и неподвижные особые точки. Разделение же особых точек на подвижные и неподвижные носит условный характер, на что об-

с коэффициентами
(2.4.4)
Как и в первой главе, несложно показать,.что справедлива Теорема 2.3. Для того чтобы система (2.4.3) была системой леммы 2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
I) при сесх)фО и б»
Замечание 2.1. Ограничения на 5 в условиях теоремы 2.3 существенны. При в первом случае появляются дополнительные условия, среди которых есть АОЪо-0, что невозможно, так как непосредственным подсчетом легко установить: АоЪо . Во втором случае при 5^-2 должно выполняться условие , что также невозможно,
(2.4.5)
0,1+3 )}
(2.4.6)