О решениях нелинейных операторных уравнений в секториальных окрестностях нерегулярного значения векторного параметра

• Автор: Леонтьев, Роман Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 124 с.

Оглавление
Введение
1 Минимальные ветви решений нелинейных операторных уравнений в секториальных окрестностях нерегулярных значений векторного параметра
1.1 Построение ветвей решений в случае существования производной Фреше нелинейного оператора
1.2 Построение ветвей решений при выполнении условий типа Липшица
1.3 Усиление результатов параграфов 1 и 2 с помощью замены общего вида
2 Минимальные ветви решений нелинейных уравнений в случае фредгольмова оператора
3 Построение малых решений различных порядков малости нелинейных уравнений в секториальных окрестностях векторного параметра
3.1 Униформизация ветвей и последовательные приближения
3.2 Построение решений краевой задачи об изгибе стержня в нерегулярном случае
Заключение
Список литературы

Введение
Нелинейные уравнения представляют большой интерес в силу многочисленных приложений в современной физике и технике. Поэтому важность исследования таких уравнений не вызывает никаких сомнений.
Первая серьезная работа по нелинейным интегральным уравнениям принадлежит А.М. Ляпунову [83], которая была посвящена изучению фигур равновесия вращающейся жидкости. В несколько более общей форме результаты А.М. Ляпунова были получены Э. Шмидтом [87].
В первой половине XX века различные методы исследования нелинейных уравнений развивались в работах П.С. Урысона [74], Гаммерштейиа [78], Иг-лиша [79], Н.Н. Назарова [49], А.И. Некрасова [50] и других.
К концу 50-х годов М.А. Красносельским [17] и другими начинается интенсивное развитие топологических и вариационных методов в теории ветвления, позволяющих доказывать теоремы существования в ряде прикладных задач.
Состояние теории ветвления решений нелинейных уравнений к концу 60-ых годов отражено в монографии М.М. Вайнберга, В.А. Треногина [7]. В этой книге подробно освещены вопросы, касающиеся диаграмм Ньютона, одномерного и многомерного случаев ветвления, уравнений разветвления Ляпунова-Шмидта, фредгольмовых и нётеровых операторов, жордановых цепочек, рассмотрены многочисленные примеры, в том числе прикладного характера. Эта монография переведена на основные европейские языки и считается фундаментальным трудом в области ветвления решений нелинейных уравнений. Дальнейшие исследования проводились на основании сочетания аналитических, вариационных, теоретико-групповых методов многими современными учеными. Из приближенных методов в теории ветвления решений ислиней-

пых уравнений с параметрами выделяют для типа - это асимптотические методы и итерационные методы.
В развитие современных асимптотических методов в многомерном случае принципиальное продвижение внесли работы В.А. Треногина [7,51], методы группового анализа (работы Б.В. Логинова и В.А. Треногина [44,51]), методы степенной геометрии (А.Д. Брюно [6]) и других. При асимптотическом анализе задач теории ветвления решения ищутся в виде разложения Ныотона-Пьюизо, т.е. по дробным степеням числового параметра. Асимптотические методы развивались в теоретических и прикладных работах [5,8] и многих других (см. например, библиографии в [6,7,44,51,84]). Асимптотическими методами были решены сложнейшие задачи в математической физике и иных областях современной и прикладной математики (работы В.И. Юдовича [76], М.М. Вайнберга и В.А. Треногина [7, стр. 490-517], A.A. Белолипецкого и А.М. Тер-Крикорова [4], [51, стр. 145-196], Б.В. Логинова [45], Д. Сэтиндже-ра [86], Н.И. Макаренко [47] и др.)
Методы теории ветвления нашли применение и при решении дифференциально-операторных уравнений с необратимым оператором в главной части [90], в бифуркационном анализе системы Власова-Максвелла [84] и других областях науки и техники.
Появление итерационных методов дало новый толчок в развитии приближенных методов в теории ветвления. В этом направлении были рассмотрены вопросы униформизации решений [70], в том числе явная и неявная параметризация [48,56,69,71] в условиях групповой симметрии [43] уравнений, сплетаемые уравнения разветвления [1,55], предложен N-ступенчатый итерационный метод [67] поиска ветвящихся решений нелинейных уравнений. Некоторые результаты в теории итерационных методов, в том числе и построение разветвляющихся решений операторных уравнений, полученные к середине 80-х годов, отражены в монографии H.A. Сидорова [68]. Итерационные методы при решении конкретных задач использовали и другие авторы [80,82,85,91]. Важным вопросом при исследовании уравнений итсрацион-

Учитывая, что элементы г и / тоже представимы сходящимися рядами в гильбертовом пространстве Т2[о,1]:
Ь, = '1хкук, 1 = Г//к<Рк, (Ы.9)
к=1 к
уравнение (1.1.8) примет вид:
оо оо оо
А/,7Ц-Д/;- Т А НкРк у /к'рк;
/,’ -1 /с=1 /г
откуда в силу линейной независимости элементов получаем систему
алгебраических уравнений:
А/сЬк Т АНк — fk к — 1,2,

-, * = 1,2,
А + А
Подставляя полученные выражения для в ряд (1.1.9), получаем решение уравнения (1.1.8):

А + А к
<Рк-
Теперь оценим по норме:

ОО /»

А + А к

Л + Лк

Е1Л12

Здесь мы воспользовались оценкой < А, которая справедлива в силу неравенств А1 > А2 > .. > 0 ( [73], стр. 245) и А > 0. Но, с другой стороны, при А > 0 //. = А"1 (0, А)/. Следовательно, получаем требуемую оценку на
ГЧО.А):
|Ц-'(0,А)||=о(П при А —> +0.
Теперь покажем, что при п > 2 выполнены все условия теоремы 1.1.1 для оператора А(т, А).
1) Операторы Р(х, А) и Рх(х, А) - непрерывны.