Подмодели и точные решения уравнений динамики двухфазной среды

• Автор: Панов, Александр Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 109 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Методы группового анализа дифференциальных

уравнений

2 Симметрийный анализ одномерного течения

двухфазной среды

2.1 Ядро основных алгебр системы уравнений динамики

двухфазной среды

2.2 Оптимальные системы подалгебр

2.3 Инвариантные и частично инвариантные решения

3 Подмодели и точные решения уравнений динамики
двухфазной среды в трехмерном случае
3.1 Ядро основных алгебр Ли
3.2 Инвариантные подмодели ранга 3
3.3 Простые решения
3.4 Частично инвариантные решения
4 Приложения
4.1 Область гиперболичности системы уравнений
4.2 Мгновенные источники газа и частиц
5 Заключение
Список литературы

Введение
Актуальность темы исследования. В естественных и технических науках значительную роль играют процессы, в которых участвуют несколько различных фаз и компонент вещества. Компоненты могут быть в различных агрегатных состояниях, смешиваться как на молекулярном уровне, так и на макроуровне: когда размеры включении одной компоненты в другую значительно больше их молекулярных масштабов. Гетерогенными или многофазными называют среды, в которых смешивание компонент происходит на макроуровне, в случае же перемешивания на молекулярном уровне смесь называют гомогенной.
Различные компоненты среды могут отличаться скоростями звука, теплоёмкостями, вязкостями и другими физическими характеристиками, в результате чего среда при внешних воздействиях приходит в неравновесное состояние, характеризующееся различием температур, скоростей и плотностей фаз. Данные различия основных характеристик порождают новые эффекты в динамике среды, не встречающиеся в однокомпонентной газовой динамике: фазовые переходы, процессы релаксации различных характеристик, смена типа системы и другое. Учет всех этих особенностей резко усложняет анализ математических моделей многокомпонентных сред.
Существуют различные виды гетерогенных смесей. Наибольший интерес исследователей вызывали и вызывают дисперсные смеси — это смеси, состоящие из двух фаз, одна из которых называется дисперсной фазой, в ее роли выступают капли, пузырьки, твердые частицы, а вторая, окружающая, несущая среда, называется дисперсионной фазой. Распространенными примерами дисперсных сред служат суспензии, эмульсии, газовзвеси, пузырьковые смеси.
Модели гетерогенных сред описывают различные явления гидро- и газодинамики, теории фильтрации, ракетостроения, угле- и нефтедобычи, ядер-
ной и неядерной теплоэнергетики, металлургической и строительной промы-шелнноети, астрофизики. К примеру, н установках переработки нефти и других типов сырья основную роль играют закономерности гетерогенных течений: использование неподвижного пористого слоя катализатора, через который протекает реагирующая газовая смесь. В теплоэнергетике одной из главных проблем является отвод большого количества тепла с теплоотдающих поверхностей. Самыми распространенными теплоносителями в этой области являются парожидкостные смеси. Разработка и улучшение различных типов двигателей требует исследования гетерогенного горения распыленного жидкого и твердого горючего, детонации и других явлений в двухфазных средах. С этими процессами связаны также проблемы неконтролируемой детонации газовзвесей в промышленности.
История использования математических моделей для описания различных неоднофазных систем восходит к работам Л.Д. Ландау и Е.М. Лиф-шица, И. Пригожіша и П. Мазура (работы по гидродинамике жидкого гелия), Л.С. Лсйбензона (работы по механике жидкости в пористых средах), Я.И. Френкеля (работы, связанные с сейсмическими явлениями в грунтах),
H.A. Слезкина (движение пульпы), Г.И. Барепблатта (движение взвешенных частиц в турбулизованном потоке), Ф.И. Франкля и С.Г. Телетова (получение гидродинамических уравнений двухфазной среды методами осреднения),
С.С. Кутателадзс и М.А. Стыриковича (гидравлика газожидкостных потоков). Среди зарубежных авторов, развиваших теорию многокомпонентных сред, можно назвать S. Chapman, Т. Cowling, S. Truesdell, R. Toupin(l956), G. Carrier (1958), P. Cayley, G. Cliegel, A. Green, P. Naglidi (1961), G. Batchelor, G. Muller (1966), L. Wijiigaarden (1971).
Существует определенное количество моделей гетерогенных сред. Одной из первых феноменологических моделей взаимопроникающих движений сред стала система уравнений Х.А. Рахматулина [75]. При этом температура среды считалась неизменной. Данная математическая модель механики

Приравняв к нулю у этих многочленов коэффициенты, получим уравнения Ьа(и—у)ъ+Ьаи(и—у)тх—Ьр~1а{и—и)а+(1—аа)Ррах+Ь{и—и)/3+(1—аа)Ргг/Зх+ +Ьа(5 — 7) + рф + ри8х — Ьа(и — у)5и + Ьр(и — у)5„ — 0, (2.1.21)
РрП Ч- 2 ч Рр РрО( + РррО! Ч- РрСХр
—о(1 - аа)~1РрР + Ррар + РаРр - Ррди - ар( 1 - аау1Рр8у = 0, (2.1.22)
РаП + (и + у)Ратх - Ра£х - р~1Раа Ч- Р^а + Р^сщ - а(1 - аа)~1Рар+
+Раа/3 + Р(Т/30 + р(1 - аа)~1(и-у)8а - Ра8и -ар(1 -аа)_1Рстф = 0, (2.1.23)
ип + и2тж + (1 - асг)РрТт - ф - <т+
+р_1(1 - аа)Рр(хи + р-1(1 - аа)Рсри + 8 - р8р = 0, (2.1.24)
ег(1 — аа)Ратх + (1 — аа)Ррау + (1 — аа)Ра(Зу — ро8а + р(и — у)8у = 0, (2.1.25)
-Ь(и - у)ъ - Ьу(и - у)тх + аРрах + аРарх - Ь(8 - 7)+
+11 + VI* - Ьр~1а{и - у)7„ + Ь(и - у)^, = 0, (2.1.26)
аРрЪ + а(и + у)Рртх - аРр£х + аРрра + аРрар+
+аРргт/3 + аРарр - (и - у)~1р - р_1( 1 - аа)Рр^у - аРр7„ = 0, (2.1.27)
аР^Ть Ч- 2аиРатх &РаРх 4” аРнР^одЧ-
РаР^Р + аРсро - р_1(1 - ао)Ра1и - аРа1У = 0, (2.1.28)
а/>РРтж 4- аРраи + аР„Ри - р!р - (и - у)1и = 0, (2.1.29)
г/т* + г/2тж + ааРатх - & - <ж + аРро:„ + аРаРу + 7 ~ = 0. (2.1.30)
При нахождении ядра основных групп системы уравнений считаем функцию Р и ее производные дополнительными свободными переменными. Тогда из уравнения (2.1.22) следует, что а = Р — 0, а из уравнения (2.1.24) — тх = 0. Поэтому система уравнений (2.1.11)—(2.1.30) примет вид
5Х = 8а = 8У = 0, (2.1.31)