Применение метода моментов для исследования свойств решений систем уравнений газодинамического типа

• Автор: Розанова, Ольга Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 265 с.

Оглавление
Введение
1 Исследование свойств гладких решений квазигазодинамических уравнений с правыми частями специального вида
1.1 Решения с конечным моментом инерции, определенные на них интегральные функционалы и их свойства

1.1.1 Условный результат о потере гладкости

1.1.2 Интегральные функционалы и их свойства

1.1.3 Изотермический газ и газовая динамика "без давления"

1.1.4 О специфике достаточных условий образования особенностей

гладкою решения

1.2 Применение к системе уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости

1.2.1 Решения с конечным моментом инерции

1.2.1.1 Интегральные функционалы и формулировка основных теорем
1.2.1.2 Доказательство теорем
1.2.1.3 Асимптотика решения при больших временах и потеря гладкости
1.3 Приложение к уравнениям магнитогидродинамики
1.3.1 Результат о потере гладкости
1.3.2 Энергетические оценки для решений с конечным моментом инерции
1.4 Приложения к уравнениям неньютоновской жидкости

1.4.1 Приложение к уравнениям нсныотоновской магнитной жидкости
1.5 Приложения к системе уравнений движения гранулированного газа
1.5.1 Несуществование глобально гладких решений
1.5.2 Одномерный случай
1.5.2.1 Автомодельное решение
1.5.2.2 Стационарные решения и его гладкие возмущения
1.5.2.3 Потеря гладкости для возмущений нетривиального стационарного состояния
1.5.3 Точное решение с особенностью
1.6 Образование особенностей в случае возмущения состояния покоя, имеющего компактный носитель
1.7 О локализации особенностей системы уравнений газовой динамики
1.8 О поведении границы подвижного объема в гладком течении сжимаемой жидкости
2 Исследование свойств гладких решений уравнений газодинамического типа с правыми частями, важными с точки зрения геофизики

2.1 Описание моделей
2.2 Свойства интегральных функционалов
2.3 Баланс между кинетической и внутренней компонентами величины полной энергии
2.3.1 Случай I ^ 0, /х =
2.3.2 Случай д = 0, I ф 0, 6 ф
2.3.3 Случай ц > 0, 1 = 6 =
2.3.4 Случай ^ > 0, I Ф 0, <5 =
2.4 Влияние сухого трения на формирование особенности
2.5 Влияние вращения на образование особенностей
2.5.1 Вращение без трения и учета центробежной силы

2.5.2 Достаточные условия разрушения решения для системы динамики атмосферы с учетом потенциала центробежной силы . . .
2.5.3 Вращение с сухим трением
2.6 Решения с компактным носителем плотности
2.6.1 Система на плоскости
2.6.2 Система на произвольном двумерном римановом многообразии
3 Глобально гладкие решения квазигазодинамических уравнений в Евклидовом пространстве
3.1 Построение решений с линейным профилем скорости на плоскости . . .
3.1.1 Случай кососимметрической матрицы A(t)
3.1.1.1 Отсутствие сноса (b(t) = 0)
3.1.1.2 Присутствие сноса (b(i) ^ 0)
3.1.2 Матрица А(1) общего вида
3.1.2.1 Матрица A(t) общего вида, b(t) s
3.2 Построение решений с линейным профилем скорости в физическом пространстве (п = 3)
3.3 Существование частных решений со степенным убыванием дивергенции скорости
3.3.1 Отсутствие внешнего трения и вращения
3.3.1.1 Кососимметрическая матрица A(t)
3.3.1.2 п = 2, матрица А(1) общего вида
3.3.2 Сухое трение и вращение
3.4 Теорема о внутренних решениях
3.5 Следствие теоремы о внутренних решениях и примеры
4 Гидродинамический подход к построению решений нелинейного уравнения Шредингера в критическом случае
4.1 Законы сохранения, интеграл момента и гидродинамическая интерпретация
4.1.1 Гидродинамическая интерпретация

1.1.2 Интегральные функционалы и их свойства
В дальнейшем нам будет удобно работать с системой (0.0.1), (0.0.2), (1.1.3).
Определение 1.1.1. Мы будем говорить, что решение {р,,р) системы (0.0.1), (0.0.2), (1.1.3) принадлежит классу Л, если при всех t > 0 оно обладает следующими свойствами:
(1) является классическим и р(ф,х) > 0;
(п) убывает на бесконечности при |х| —> сю при каждом фиксированном Ь € М+ как:
Р = о(г-^-У Р=о(-1—), е>0, (1.1.15)
|v|=4npJ; (1ЛЛ6)
(iii) J F dx s0, J (F ,x)dx = 0, J (FtXj - F3Xi) dx = 0, i Ф j, i,j = l,...,n,
Rn R" R"
где x - радиус-вектор точки x
(iv) J{F, V) dx < 0, jFclx< 0.
Rn Rn
Отметим, что из (1.1.15), (1.1.1G) следует, что р|х|2, р, рУ2 принадлежат клас-су Li(R").
Конечно, мы рискуем тем, что при некотором выборе F и Т класс Л окажется пустым или состоящим только из тривиального решения. Однако при F = 0, Т = 0 этот класс нетривиален, и мы по сути дела ищем ситуации, при которых мы можем применить ту же технику, что и в этом основном случае.
Хорошо известно, что, по крайней мере для F = 0, — 0 у первоначально
сколь угодно гладких решений уравнений (0.0.1), (0.0.2), (1.1.3) в течение конечного времени могут образовываться особенности (см., например [42], [117]).
Вместе с тем известны и результаты о локальном существовании гладких решений. Например, для системы (0.0.1), (0.0.2), (1.1.2) известно, что если F = 0, Т = 0, то если