Оценки первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с краевыми условиями третьего типа и интегральным условием на потенциал

• Автор: Карулина, Елена Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с. : ил.

Содержание
Введение
1. Оценки сверху минимального собственного значения для случая симметричных краевых условий
2. Оценки снизу минимального собственного значения для случая симметричных краевых условий
3. Графическая интерпретация полученных результатов для симметричных краевых условий
4. Оценки сверху и снизу минимального собственного значения для случая несимметричных краевых условий
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Представленная работа является исследованием в области качественной теории дифференциальных уравнений и спектрального анализа.
В диссертации рассматривается задача, основой которой принято считать задачу Лагранжа (см. [8]): найти наиболее прочную колонну, которая является телом вращения плоской кривой вокруг некоторой прямой, расположенной в ее плоскости.
Физическая постановка задачи Лагранжа и исторический обзор результатов ее исследования.
Задача об оптимальной форме эластичной колонны фиксированного объема с шарнирным опиранием на обоих концах была поставлена Ж.-Л. Лагранжем [43] в 1773 г. на основе работ Л. Эйлера и Д. Бернулли [28]: найти форму упругого тела вращения, максимизирующую ее прочность. Решая эту задачу, Ж.-Л. Лагранж пришел к выводу, что оптимальное решение задачи — колонна постоянного сечения (цилиндр). Ошибка Лагранжа была исправлена почти сто лет спустя член-корреспондентом С.-Петербургской Академии наук Томасом Клаузеном [29]. Задача Лагранжа может быть сформулирована и следующим образом: при заданной критической силе найти колонну минимального объема. Т. Клаузеном было получено решение этой задачи для граничных условий «жесткая заделка — свободный конец».
Ошибка Лагранжа и решение Клаузена описано в работе известного петербургского механика Е.Л. Николаи [22], опубликованной в 1907 году. Он обобщил решение Клаузена, введя дополнительное ограничение на минимально допустимую толщину колонны. Из отечественных исследований 30-х годов можно отметить статью Н.Г. Ченцова [27], рассмотревшего различные формы поперечного сечения стержня, и дипломную работу А.Ю. Ишлинского (1935г.).
В XX веке интерес к этой задаче вновь возник после появления работ Дж.Б. Келлера [41] и Дж.Б. Келлера, И. Таджбахша [50]. Они нашли оптимальную форму колонны для граничных условий «жесткая заделка — шарнир», «жесткая заделка — свободный конец». Н.В. Баничук [1] рассмотрел случай «свободный конец

упругая заделка».
В 1977 году датские исследователи Н. Ольхофф и С. Расмуссен [46] обнаружили, что решение, приведенное в [50] для случая жесткой заделки с обоих концов, неверно и численно нашли оптимальное решение с двумя линейно независимыми формами потери устойчивости (бимодальное решение). Позже их результаты были подтверждены А.П. Сейраняном [23, 24]) и Е. Мейзуром [44], которые использовали различные численные методы. Задача с условиями «жесткая заделка на обоих концах» так и не была решена. На эту тему было много работ (см. [44], [23], [24], [25], [30], [31]), но существование оптимальной формы не доказано до сих пор. С.Дж. Кокс и M.JI. Овертон доказали в [31] теорему существования с некоторыми дополнительными условиями (П.Г. Кримсер и К.-К. Ху в [42] нашли ошибки в работе [31]).
Попытки исправить доказательство Келлера — Таджбахша привели к потоку статей на тему о необходимых условиях оптимальности собственного значения оператора в том случае, когда оно кратно (см. работы A.C. Братуся [3], A.C. Братуся и А.П. Сейраняна [4], Накамуры [45], Кокса и Овертона [31], Овертона [47],
А.П. Сейраняна [24] и другие).
В работе Ю.В. Егорова и В.А. Кондратьева [34] предложено альтернативное доказательство теоремы Келлера — Таджбахша, не зависящее от кратности собственного значения задачи. Из результатов, полученных в этой работе, следует, что форма колонны, найденная в их работе, оптимальна, также как и значение критической нагрузки.
Ю.В. Егоров в своих недавних работах (см. [35] - [39]) предложил новый подход к доказательству существования оптимальной формы колонны и новый алгоритм для поиска оптимальной формы, который может служить математической базой для результатов, полученных численно Н. Ольхоффом и
С. Расмуссеном, А.П. Сейраняном и Е. Мейзуром.
Математическая формулировка задачи Лагранжа.
Приведем постановку задачи Лагранжа, рассматриваемую в работе Дж.Б. Келлера и И. Таджбахша [50] и связанной с ней вариационной задачи (см. также работы [25], [38]).

Пусть функция z(x) £ Н( 0,1), и пусть К (у) = к2 (у2( 0) + у2( 1)). Рассмотрим функцию
д{1) — G(u + tz)
1 /1 2/Р
f(u'(x) + tz'(x))2dx + ( / |гфж) + tz(a?)|pda; I + К (и + tz)
о о

f (и(х) + tz(x))2dx о
где t G М. Поскольку
р(0) = ОД = inf ед,
у(х)аН (0,1)
то дифференцируемой функции g(t).
Найдем g'(t):

2 j(u! + tz’)z'dx
9'if) = -Л +
f (и + tz)2dx о

/1 Г
| I / |u + fz|pcte) p f [u + tzz sign (u + tz)dx
, o
+ x + f(u + tz)2dx о
k2(2(u(0) + tz(0))z(0) + 2(u(l) + tz(l))z(l))
f(u + tz)2dx о
1 (1 /1 2/p
2 /(и + tz)zdx I J(u' + tz')2dx + / |гг + tz|p f(u + tz)2dx о