Интегрируемые эволюционные цепочки и дискретные уравнения

• Автор: Постников, Валерий Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Сочи
• Количество страниц: 88 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Векторные аналоги модифицированной цепочки Вольтер-ра
1.1 Преобразование Вэклунда для скалярной цепочки
1.1.1 Представление нулевой кривизны
1.1.2 Принцип нелинейной суперпозиции
1.2 Первое векторное обобщение
1.3 Второе векторное обобщение
1.4 Высшие симметрии и ассоциированные системы
1.5 Дальнейшие векторные аналоги
2 Линейные задачи для иерархии Хироты-Охты
2.1 Иерархия НУШ
2.2 Иерархия Хироты-Охты
2.3 Векторная иерархия Кулиша-Склянина
3 Цепочки, ассоциированные с рациональными операторами Лакса
3.1 Простехнпий пример
3.2 Предварительные построения
3.2.1 Определения и обозначения
3.2.2 Цепочки Богоявленского
3.3 Дискретизация уравнения Савадьт-Котеры
3.3.1 Представление Лакса
3.3.2 Модифицированные цепочки
3.3.3 г-матричная формулировка
3.3.4 Непрерывный предел
3.3.5 Билинейные уравнения
3.4 Дискретный аналог уравнения Каупа-Купершмидта
3.5 Примеры, связанные с операторами общего вида

4 Дискретные двумерные интегрируемые уравнения высшего порядка
4.1 Общая схема
4.2 Многомерная совместность
4.3 Преобразование Бэклунда для цепочки Богоявленского
4.4 Преобразование Бэклунда для дискретизации уравнения Савады-Котеры
Литература

Введение
Современное понимание интегрируемости нелинейных уравнений основано на методе обратной задачи рассеяния. Этот метод применим в том случае, когда исследуемое уравнение допускает представление в виде условий совместности для вспомогательных линейных систем. Исторически, первый пример связан с изоспектральными деформациями для задачи Штурма-Лиувилля фхх = (и — А)ф, которые приводят к уравнению Кортевега-де Фриза
111 ~ Иххх 6иих (1)
и бесконечной серии его высших симметрий (иерархии КдФ). К настоящему времени установлена интегрируемость для огромного числа уравнений различных типов. Простейший класс, содержащий КдФ и множество других важных примеров, составляют скалярные эволюционные уравнения
«£ = /(«,иХ!. ,.,дх(и)). (2)
Параллельная теория разработана для эволюционных дифференциальноразностных уравнений (цепочек)
11,Ь = 1{ИтП1 - - ■ , Ц — тп)> (3)
где обозначено = 0Ци(п, 4)), и3 = и(п + 4). Такие уравнения можно
интерпретировать как дискретизацию, по пространственной переменной, уравнений вида (3). Первым примером применения метода обратной задачи к уравнениям этого типа служит цепочка Вольтерра
и:1 = и{и (4)
проинтегрированная в работах Кейза, Каца [27] и Манакова [65], и связанная с дискретной задачей Штурма-Лиувилля г/ц 4- иф^ = Аф.
Цепочка (4) переходит в уравнение КдФ для переменной и(х,т) в непрерывном пределе и(п,4) = 1 - е2и(х + 2et, ^е34), х = т, е -> 0. Однако, это соответствие не взаимно-однозначно: одно непрерывное уравнение может допускать неэквивалентные дискретизации разного порядка. Например, уравнение КдФ возникает в непрерывном пределе не только

Это соотношение не билинейно, но оно обращается в тождество в силу системы (2.13), которая принимает вид [2, 3, 4, 57]
(2.16)
(2Лг — 3Г)хГ)у 'Т 1()) к| • Л = О,
(4Ц„А - 31)^ - И£)Л • к + 24Л.т/г_1 = 0.
Действительно, в силу этих уравнений
А п о в „ Лг
_ = 2п-2г, ^ = 8гж, г
Преобразование Бэклунда-Дарбу выводится из линейной задачи
Фх = фг + + ифг, -фг,х = Ф + Угф + (2-17)
а аналог принципа нелинейной суперпозиции (2.7) из линейной задачи ф, =фг + тм(ф + ифг,), ф]=фг-'Ш{г:,)(ьг]ф + фг]), 1<]. (2.18)
Условия совместности для этих уравнений определяют все уровни дискретизации системы Хироты-Охты. Приведем ответы сразу в билинейной записи для т-функций, так как уравнения для коэффициентов довольно громоздки. Чтобы ввести т-функции, используются следующие соотношения, в дополнение к подстановкам (2.12):
«(*) = = (2.19)
П/1 ГЬ П/1 П/у
Замечание 2.2. Линейную задачу (2.9) можно рассматривать, как уравнение Шредингера с матричным потенциалом специального вида. Аналогично, линейные задачи (2.17), (2.18) являются специальной редукцией линейных задач для дискретной системы ДарбуЧЗахарова-Манакова [75, 22]. В случае общего положения эта система содержит восемь полей (две матрицы размера 2x2).
Утверждение 2.3. Условия совместности для уравнений (2.9) и (2.17) приводят к системе
(кг,у фукг (кг хх - 2/Л,* + /ххкг - 2М = 0,
^9г,у ~ Ьу9г "Ь ^9г,хх ~~ ^^х9г,х "Ь Ь>хх9г ~ ^1г9 =
/Ху/хг ^^г,хх 2НхЬч}х ^хх^г Н- 2^9г = О? (2.20)
условия совместности для (2.18) и двух уравнений вида (2.17), отвечающих г и приводят к системе
}^гз,х /х^г] = /з^п
Ь>9гз,х ^х9гз ~ ^г9з 9г->
г<3 (2.21)