Решение основных краевых задач для β-метагармонического уравнения методом потенциалов

• Автор: Ибрагимова, Наиля Анасовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 135 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Исследование краевых задач для В-метагармонического уравнения

т-го порядка, когда корни характеристического уравнения положительные 16 §1. Сведение уравнения (Рт) к В-эллиптической системе уравнений

§2. Фундаментальная матрица решений В-эллиптической системы уравнений (А^д)

§3. Потенциалы и их свойства

§4. Краевые задачи для уравнения (Рт)

§5. Системы интегральных уравнений задач Дирихле и Неймана

§6. Решение краевых задач для В-метагармонического уравнения ??г-го порядка (Рш)

Глава 2. Исследование краевых задач для В-метагармонического уравнения

т-го порядка, когда корни характеристического уравнения отрицательные 64 §1. Фундаментальная матрица решений В-эллиптической системы уравнений (А^в)
§2. Потенциалы и их свойства
§3. Краевые задачи для уравнения (Рт)
§4. Системы интегральных уравнений задач Дирихле и Неймана
§5. Решение краевых задач для В-метагармонического уравнения т-го порядка (Ргп)
Глава 3. Краевые задачи для В-эллиптических систем уравнений
§1. Краевые задачи для В-эллиптической системы уравнений с положительно определенной матрицей
§2. Краевые задачи для В-эллиптической системы уравнений с отрицательно определенной матрицей
Заключение
Литература

Введение
Сингулярные уравнения, содержащие оператор Бесселя
п д2 к д Вг = — +
дх2 хдх’
действующий по одной или нескольким из пространственных переменных, являются актуальной областью исследований. Изучение таких уравнений вызвано и теоретическими интересами, и практической необходимостью. Отметим [53], что исследование задач гидроаэродинамики вязкой жидкости и неидеального газа, а также задачи акустики привели к изучению дифференциальных уравнений с сингулярным оператором Бесселя. Например, в середине 60-х годов при изучении влияния вязкости и теплопроводности на структуру сжимаемых течений при обтекании тел конечных размеров звуковым па бесконечности потоком неидеалыюго газа О.С. Рыжовым и Г.М. Шефтер (см. [67]) были получены стационарное и нестационарное вязкое трансзвуковые уравнения
где 7 = const > 0.
Отметим также, что теория эллиптических уравнений, по одной из переменных которой действует сингулярный оператор Бесселя Вх, тесно связана с теорией вырождающихся эллиптических уравнений. А вырождающиеся эллиптические уравнения представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Такие уравнения имеют многочиленные приложения [71) в газовой динамике, безмомеит-нон теории оболочек, теории малых изгибаний поверхностей вращения, механике сплошной среды и др.
Кроме того, вырождающиеся эллиптические уравнения встречаются в теории фильтрации при исследовании процессов переноса массы через неоднородные пористые пласты [16], [36], а также в современной космологии при рассмотрении экзотических состояний материи [60].
Начиная е самых первых исследований дифференциальных уравнений с частными производными теория сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя играла важную роль (Е. Beltrami, A.Weinstein и др.).
В 1881 году впервые Е. Beltrami [78] были построены фундаментальные решения уравнения
где Ад = Аз-' + ВХр, А*/ —оператор Лапласа, х' = (ад. х2,..., xp-i), ВХр — оператор Бесселя, при к = 1 и р = 2. A. Weinstein [85] этот результат распространил на любое значение к > 0. И.А. Киприяновым и В.И. Кононенко [34], [35] построены фундаментальные решения общих линейных В-эллиптических уравнений. Фундаментальной матрице решений В-параболической системы (параболической системы с оператором Бесселя) посвящена работа В.В. Крехивского и М.И. Матийчука [37].
Как и для любых уравнений в частных производных, в теории сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя центральное положение занимает теория краевых задач.
Одной из первых работ, посвященных краевым задачам для этого класса уравнений, является статья И.Н. Векуа [8], опубликованная в 1947 году. В ней изучен вопрос о корректности постановки задачи Дирихле для уравнения (0.1) в полуплоскости х2 > 0 при р = 2 и к < 1. Ряд результатов о краевых задачах для уравнений с оператором Бесселя в случае р > 2 были получены М.Н. Олевским [54], A. Huber [80], C.FI. Пулькипым [61|, В.Ф. Волкодавым [10], [11|, В.И. Евсиным [17], N.S. Hall [79], О.И. Маричевым [44], [45] и другими.
Начало интенсивному развитию теории сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя положила фундаментальная работа И.А. Киприяиова [31], опубликованная в 1967 году. Эллиптические уравнения, по одной или нескольким переменным которых действует оператор Бесселя, впервые и были названы 14.А. Киприяновым |34] В-эллиптичоскнми. Задачи для дифференциальных уравнений с особенностью в коэффициентах давно и хорошо известны. Методы их решения не являются стандартными и, как правило, зависят от характера особенностей уравнения. Один из подходов, развитый И.А. Киприяновым и его научной школой (JI.A. Иванов, В.В. Катрахов, М.И. Ключанцев, JT.H. Ляхов и др.), заключается в использовании интегральных преобразований, приспособленных именно к данной особенности уравнения.
И.А Киприяновым была создана теория весовых функциональных пространств. В настоящее время эти пространства известны как пространства Киприяиова С помощью этих пространств им и его учениками установлен ряд важных результатов для В-эллиптических, В-нараболических и В-гиперболических уравнений (подробнее см. [32]).
Другой подход к построению весовых функциональных пространств на основе операторов преобразования типа Пуассона и Сонина был предложен учеником И.А. Киприяиова В.В. Катраховым [33]. Эти исследования применены им к изучению общих краевых задач для В-эллиптических уравнений с весовыми неоднородными граничными условиями на характеристической части границы [29].
Важный вклад в изучение сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя внесли работы Л.Н. Ляхова и его учеников (см. [32], [41], [43], [74]). Л.Н. Ляховым введен и изучен новый класс гиперсингулярных интегралов, названный им В-гиперсингулярными интегралами. Им рассмотрены основные приложения этих конструкций к описанию весового класса функций дробной В-гладкости, представляющих собой обобщения функциональных классов И.А. Киприяиова, и к построению формул обращений интегральных уравнений с В-потенциальиым ядром.

;3. Потенциалы и их свойства
С иомощыо фундаментальной матрицы решений Z(І,x) системы (Л'в) введем в рассмотрение следующие интегралы
у{х) = I г(а,х)и.(0еРс1.г..

(1.80)
(1.81)
которые соответственно назовем потенциалами простого и двойного слоя для системы (АД), в случае когда А; > 0, ] = 1, т.
Исследуем простейшие свойства потенциалов простого и двойного слоя.
1) Если плотности непрерывны на Г, то потенциалы простого и двойного слоя являются решениями системы (А/д) в любой области, лежащей в полупространстве Е*, замыкание которой не имеет общих точек с поверхностью Г.
Действительно, пусть же Г, тогда потенциалы простого и двойного слоя (1.80), (1.81) имеют производные всех порядков. Далее, функции У(х) и IV (х) удовлетворяют системе уравнений (АД). Действительно, если х€ Г, то дифференцировать можно под знаком интеграла. Тогда имеем
ЛДДУ(ж)] = I ЛДХ Щ^х)] фООР <1Г = о,
индекс х у буквы N означает, что дифференцирование совершается по координатам точки х. А также, получаем
N в = у мв,

аг^,х)

ИО&г = / лд.,
■^дZ(^},x)
Ч —Н7---------сМп-Лі)

Здесь, п - нормаль, проведенная в точке £, поэтому соз(пД() пс зависит от х, и его можно вынести за знак операции ЛДХ
ЛДДИ' (ж)] = / 22 Мвх
дг&х)

СОфТ,;Ь)НООНГ =
Л Р Л
= У 22 (9^ {Мвх 12(0.х)}) сов(п,і,)ИОірйГ

2) Потенциалы (1.80), (1.81) соответственно имеют вид
У(х) =

І £ ЧІ, ж) ІкШр ЛГ

/ гтт{0 X)
, ИДж) =

/ " дгиЦ,х)
і (Нх дп