Асимптотика решения начальной задачи для квазилинейного параболического уравнения с малым параметром

• Автор: Захаров, Сергей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 85 с.

Постановка задачи

Краткое содержание работы

1 Структура асимптотического разложения решения вблизи линии слабого разрыва

1.1 Асимптотический ряд

1.2 Асимптотика первого коэффициента

1.3 Асимптотика второго коэффициента

1.4 Асимптотика остальных коэффициентов

2 Асимптотика вблизи точки градиентной катастрофы

2.1 Анзац

2.2 Решения первых двух уравнений

2.3 Существование решений остальных уравнений

3 Пограничный слой вблизи линии сильного разрыва для решения уравнения Бюргерса
3.1 Точное решение
3.2 Асимптотика функций Ф+ и Ф
3.3 Асимптотика функции Ф°
3.4 Асимптотика решения задачи
Работы автора по теме диссертации
Литература

Современные асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений развивались благодаря работам H.H. Боголюбова и Ю.А. Митропольского [7], А.Н. Тихонова [77], А.Б. Васильевой [13], Л.С. Понтряги-на [72], Е.Ф. Мищенко и Н.Х. Розова [62], O.A. Олейник [69], М.И. Ви-шика и JI.A. Люстерника [17], [18], O.A. Ладыженской [48], В.П. Маслова [57], [58], [59], [60] (и др. [10], [11], [12], [14], [53], [61], [64], [71], [80], [86]), а также работам М.С. Аграновича и М.И. Вишика [1], A.B. Васильевой, В.Ф. Бутузова, A.B. Нестерова [8], [9], [14], [15], [16] по теории экспоненциальных пограничных слоев.
В ряде случаев решения вспомогательных задач пограничного слоя имеют нарастающие степенные особенности. Такие бисипгулярные задачи характерны для областей с негладкими границами, а также при наличии малых полостей, тонких щелей и тел и т.п. Их исследование является одним из направлений научной школы А.М. Ильина. В частности, изучаются решения задачи Коши для нелинейных уравнений в частных производных с малым параметром при различных начальных данных.
Основным методом построения равномерных асимптотик бисингуляр-ных задач является метод согласования асимптотических разложений. И, хотя идеи метода высказаны Прандтлем еще 1904 году [91], а процедура согласования использовалась Ван-Дайком [12], JI. Френкелем [89] и В. Экхаузом [88], однако строгое обоснование асимптотических разложений, построенных таким методом, особенно для задач с распределенными параметрами, появился сравнительно недавно в работах В.М. Бабича и B.C. Булдырева [2], [3], [4], А.М. Ильина [34], [35], [36], [37], [38], [40], [41], А.Р. Данилина [24], [25], [26], [27], P.P. Гадыльшина [19], [20], [21],
Постановка задачи

Л .А. Калякина [43], [44], [45], Е.Ф. Леликовой [52], Т.Н. Нестеровой [65], [66], [67], В.Ю. Новокшенова [68] и др.
Несколько иными методами исследовались бисингулярные задачи в работах В.Г. Мазьи, С.А. Назарова [55], [56], [63], М.В. Федорюка [81], [82].
Постановка задачи
В моделях, описывающих движение вещества со скоростью v, зависящей от плотности и, возникает нелинейное уравнение первого порядка
ut + (uv(u))x = 0.
Такие модели строятся в задаче о движении автомобильного потока, в задаче о паводковых волнах и в некоторых других.
Простейшая модель, учитывающая взаимодействие частиц, описывается уравнением Бюргерса с малой вязкостью
ut + иих = еихх, £4-0,
где и — плотность вещества.
Объектом исследования в диссертации является задача Коши для квазилинейного параболического уравнения:
ut + [(p(u)]x = euxx, u(x,t0,e) = й(х),
где е > 0, (р 6 у"(и) > 0. Эту задачу с различных точек зрения
изучали Е.Хопф [90], Н.С. Бахвалов [5], В.Н. Богаевский и А.Я. По-взнер [6], А.М. Ильин, Т.Н. Нестерова, O.A. Олейник [32], [33], [67], [70], Е.А. Лапшин, В.И. Пряжинский, В.Г. Сушко [73], [75], [76].
Отметим некоторые важные случаи данной задачи, в которых была найдена равномерная асимптотика решения с точностью до произвольной степени малого параметра £.
В работе А.М. Ильина [33] был исследован случай, когда в полосе {(x,t) : to ^ t ^ Т, х G R} предельное (е = 0) решение задачи яв2.2. Решения первых двух уравнений

краевого максимума иа нижнем пределе интегрирования. Параметры а и v выберем так, чтобы
0<м<о;<(1 — 27)/(1 — 7) < 1.
# При таком соотношении а, и и 7 объединение -X’+UX°UX_UXS является окрестностью бесконечности в R2.
Теорема 2.3 В области Х~ справедлива асимптотическая формула
Що(€, г) = W2~0(£, т) при £2 + т2 -> оо. (2.39)
Доказательство. В формуле (2.30) сделаем замену переменной интегрирования:
S = Д(£,т) + Q{£,t)z,
• где R и Q — это функции (2.10). Тогда

Ф(£,т) = exp (^rR2 - J exp j-Q3 + z2^j I dz.
-R/Q
После подстановки в (2.29) получаем
f zexp j-Q3 ^ jz3 + z2^ I dz
u>2,o(S,t) = 2Д(£,т) + 2<3(£,т)-^ J J— r^j
f exp Q3 (jz3 + z2) jdz
Асимптотика интегралов в этой формуле определяется критической точ-Ф кой подэкспонепциалыюго выражения z = 0. Тот факт, что нижний
предел интегрирования может стремиться к нулю в области Х~ при £ —> —оо не мешает воспользоваться методом Лапласа, так как в этом случае, добавляя интеграл от некоторого фиксированного отрицательного числа до -R/Q, мы изменим весь интеграл на величину порядка 0(K|VW). Таким образом, в области Х~ справедливо асимптотическое разложение
■3 __ аис-r- л
Ч pH fr3 - 6&£т + <231 Ф(?,г) = ^ехр|
i=l
Q —»■ оо. (2.40)