Краевые задачи для квазиэллиптических систем

• Автор: Бондарь, Лина Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 173 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Краевые задачи для неоднородных систем
§1.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов
§1.2. Построение приближенных решений краевых задач
§ 1.3. Вспомогательные результаты
§ 1.4. Доказательство теорем 1
§ 1.5. Доказательство теорем 1.6 и
§1.6. Следствия
Глава 2. Краевые задачи для однородных систем
§2.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов
§2.2. Доказательство теорем 2
§ 2.3. Следствия
Глава 3. Разрешимость краевых задач в весовых соболевских пространствах
§3.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов
§3.2. Доказательство теорем 3.1 и
§ 3.3. Доказательство теоремы
§ 3.4. Доказательство теоремы
§ 3.5. Следствия и примеры
Литература

Введение
Теория краевых задач для линейных эллиптических и параболических уравнений и систем сформировалась в 50-70е годы прошлого столетия. Обширная библиография по теоремам существования, единственности и регулярности решений краевых задач для них содержится, например, в монографиях [1,9,29,37,49,51,63,64,68,69].
Эллиптические и параболические операторы входят в класс гипоэл-липтических операторов. Понятие гипоэллиптического оператора было введено в работах Л. Хермандера, им же получены первые результаты о свойствах решений гипоэллиптических уравнений. Эти результаты отражены в известных монографиях Л. Хермандера [63,64].
Исследования Л. Хермандера были продолжены в работах С. М. Никольского [40,41], Л. Р. Волевича [17,18], В. П. Михайлова [38,39], Г. Г. Казаряна [30], С. В. Успенского [53,54] и др. Наиболее изученными являются свойства решений квазиэллиптических уравнений, входящих в класс гипоэллиптических уравнений и содержащих, в частности, эллиптические и параболические уравнения. В настоящее время имеется довольно много работ, посвященных изучению свойств решений квазиэллиптических уравнений во всем пространстве Дп; в частности, доказаны теоремы о разрешимости уравнений, о регулярных свойствах решений, об асимптотическом поведении решений на бесконечности, об изоморфных свойствах квазиэллиптических операторов (см., например, [4,5,19,20,27,53, 54,56,57,59-61,65,66,77]). Следует отметить, что для изучения свойств квазиэллиптических операторов понадобились новые “анизотропные” Соболевские и гельдеровские пространства. Свойства таких пространств достаточно полно изложены в монографиях [8,58].
Теория краевых задач для квазиэллиптических уравнений начала развиваться с 60-х годов прошлого столетия (см., например, работы [17,18, 40,41,44-48]). Наиболее изученными являются краевые задачи для квазиэллиптических уравнений в полупространстве. В частности, доказаны теоремы о локальной регулярности [70,72,80,84,88], о нетеровости некоторых краевых задач [85-87]. Первые теоремы существования для общих задач в Д,[ для однородных квазиэллиптических уравнений в Соболевских пространствах ИТ] были получены в работе С. В. Успенского [55],

теоремы существования для краевых задач для неоднородных уравнений во всей шкале WL 1 < р < со, доказаны в работах Г. В. Демиден-ко [22-25]. В частности, в работах [22,23] было впервые установлено, что индекс краевых задач в в соболевских пространствах Wlv зависит от порядка дифференциальных операторов, размерности п и степени суммируемости р. Оценки решений краевых задач в пространствах Гельдера получены в работах Г. А. Карапетяна [31,32], некоторые аналоги таких оценок содержатся в работах [7,21,67]. В отличие от квазиэллиптических уравнений число работ по краевым задачам для квазиэллиптических систем пока весьма ограничено [17,76].
Настоящая диссертация посвящена изучению краевых задач в полупространстве для одного класса квазиэллиптических систем. Этот класс был введен в работах JI. Р. Волевича [17] и содержит, в частности, однородные эллиптические системы, эллиптические и параболические системы по Петровскому [43], параболические системы по Эйдельману [68], однородные квазиэллиптические системы [27, 78]. Основной целью диссертации является изучение условий разрешимости общих краевых задач во всей шкале соболевских пространств Wlp, 1 < р < оо, а также в соболевских пространствах Wlp(T со специальными степенными весами, получение Lp-оценок решений, исследование регулярности решений.
Остановимся более подробно на содержании диссертации. Диссертация состоит из трех глав.
В первой главе в полупространстве = {х = (х',хп) : х' € Rn-i, хп > 0} рассматриваются краевые задачи следующего вида
f £(DX)U = F(x), X е Я+,

[ B{DX)UL=0 = 0,
где C(DX), B(DX) — матричные дифференциальные операторы. Укажем условия на эти операторы. Обозначим через Ф,г(') элементы мат-
риц C(iLI), В (if;), являющихся символами соответствующих дифференциальных операторов.
Условие 1. Пусть матрица С,(££) имеет размер т х т. Предположим, что существуют векторы а = (ai

Лемма 1.3.5. При хп > 0 и s Е 1?„_Д{0} для любых jn, к = кп-) справедливы оценки
|DKs(D::Crl(is, DXn)J+(s, xn))| < c(5>b+iK-W-ir exp
IDKs{DllCrl{is, DXn)J-(s, -xn)) < c(s)(7»+i)a»-««'-*r exp (-5xn{s)a"),
DZ"nD4u)(s,xn) < c{s)a"-Ka'+- |£>7;;1ДЛД5,х„)| < c(s)(7"+1)“"-Ka'-mJexp(-n(s)a"),
r,l — 1
где с, 6 > 0 — константы.
Доказательство повторяет рассуждения леммы 4.2 [28, гл. 4].
Лемма 1.3.6. Для любого вектора и = (г/', z/n), г/a = г/а' + гТгСКп = £Г; функции
(«,&) - (i*)"

M“(s, £„) = (is)1'' J exp (-iyn£n)Dynn£ri(is, Dyn)J-(s, yn) dyn, о

60 = (s)**-1*-™ J exp (iynn)D+l0Jrj(s, Уп) dyn, о
THjri(s, £n) = ((s) ” 4* Дп)(s) J "bj>r(is, i£n)l ’ (*S, Дп), J — 1> j /Ь
являются мультипликаторами в Lp(Rn).
Доказательство. По теореме Лизоркина [36] достаточно установить, что при rji Д 0, г = 1
|тДЦ>Д+(77)| < с, |т/7£)7/Д(7/)[ < с,
ф''Х>7л7>(т?)| < с, |7?7£Ит;>;(т7)| < с, где 7i = 0 либо 7i = 1, г = 1

J exp (-iyn£n)D£Crl(is, Dyn)J+{s, уп) dyn,