Обобщённые интегральные преобразования и их применение в теории дифференциальных уравнений

• Автор: Заикина, Светлана Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 122 с.

Оглавление
Введение

1 Некоторые обобщённые специальные функции

1.1 Обобщённая конфлюэнтная гипергеометрическая функция и её свойства

1.2 Обобщённая Г- функция и её свойства

1.3 Обобщённая бета-функция и её свойства

1.4 Обобщённая неполная бета-функция и её свойства

1.5 Краткие выводы и примечания к главе

2 Новые обобщённые интегральные преобразования

2.1 Некоторые классические интегральные преобразования

2.2 Новые обобщенные интегральные преобразования Лапласа . .
2.3 Новые обобщённые интегральные преобразования Стилтьеса .
2.4 Некоторые соотношения для новых обобщённых интегральных преобразований
2.5 Формулы обращения для новых обобщённых интегральных преобразований
2.6 Краткие выводы и примечания к главе
3 Применение обобщённых интегральных преобразований
3.1 Вспомогательные соотношения для преобразования Ст
3.2 Решение краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа
3.3 Решение краевых задач для дифференциал!,пых уравнений в частных производных гиперболического типа

3.4 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
3.5 Решение интегральных уравнений
3.6 Краткие выводы и примечания к главе
Заключение
Литература

Введение
Одним из широко используемых методов решения дифференциальных уравнений(обыкновенных и с частными цроизводными)являются интегральные преобразования. Особенно возрос интерес к интегральным преобразованиям в последние десятилетия. Как известно, интегральные преобразования являются одним из наиболее эффективных и широко используемых аналитических методов решения различных практических задач. Теория интегральных преобразований является одной из важных ветвей прикладного анализа. Многие задачи математической физики, астрофизики, термодинамики, механики и других естественных наук приводят к необходимости применения теории интегральных преобразований.
Преимущества метода интегральных преобразований заключаются в том, что он даёт возможность 1) сведения сложных задач к менее сложным, 2) получения окончательного результата в замкнутом, явном виде. Метод интегральных преобразований обладает доступной, простой, стройной схемой применения. Например, преобразование Лапласа позволяет свести решение дифференциального, интегрального, интегро-дифференциального уравнений к решению алгебраических уравнений. Оно удобно также при решении систем, состоящих из вышеперечисленных типов уравнений. Метод интегрального преобразования Лапласа позволяет решать большой круг задач нестационарной теплопроводности.
Разработкой теории интегральных преобразований занимались Бейтмен Г., Диткин В.А., Забрейко П.П., Килбас A.A., Ситник С.М., Эрдейи А., Debnath L., Sneddon I.N., Srivastava H.M., Tranter C.J., Yürekli О. и многие

дЬп (<*; т, щ ь) ( і)"г|а|г|с + вї^ т,рга+ (а пг, 7, щ ь).
(1.2.6)
Доказательство.

^ г,/зГ^(а;7,ш;6) = /(а;с;-- ) <Й =

Г(с)Г(а + т) /* і г т>/9 / Ь (
Г(0)Г(С + Д7‘ е х*1"І-+Тіс+л--і і--)й

Г(с)Г(а + г) Г г р, р ( д. _ Ь Л _
Г(а)Г(с + Р) ] 11 ^а + т’с + ^’

_ Г(с)Г(а + т) с+/8 _
Г(а)Г(с + /?) Т'Р' а+т ^ 7’7’ ^ '
Равенство (1.2.6) доказывается методом математической индукции.

Теорема 1.2.4. При условиях существования функции Т,Дса (а; 7, ид Ь) имеет место следующее дифференциальное соотношение:

(а; '1’ 6) + + 7’ ^ =
= (а; 7, гг; Ь). (1.2.7)
Доказательство. Заменим в равенстве (1-2.2) а на (а — 7), с на (с + /3),
а на (а + т). В результате имеем
Г(с+даа + 2т) с+2/з , __ . _
Г (а + т)Г(с + 2/3) а+2" 1 7’7’ ’ }
^тЩІ'а+г (« + гн - 7; 7, Щ Ь) = -аТ,Дса+т (а ~ 7! 7. Ь) • (1.2.8)