Решение начально-краевых задач о совместном движении трех вязких теплопроводных жидкостей в плоском канале

• Автор: Черемных, Елена Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 103 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Вспомогательные результаты
1.1 Преобразование Лапласа
1.2 Методы численного обращения преобразования Лапласа
1.3 Обобщение неравенства Фридрихса на область, состоящую из трёх отрезков
2 Решение начально краевой задачи, возникающей при совместном однонаправленном движении трёх жидкостей
2.1 Постановка задачи
2.2 Стационарное решение
2.3 Априорные оценки при заданном перепаде давления
2.4 Решение нестационарной задачи методом преобразования Лапласа
2.5 Стационарное термокапиллярное течение Куэтта в слоях
2.6 Сходимость решения к стационарному
2.7 Решение нестационарной задачи методом преобразования Лапласа
2.8 Комбинированное движение
3 Свойства решений двумерных уравнений термокапиллярных движений в плоском канале
3.1 Постановка задачи и её преобразование
3.2 Априорные оценки
3.3 Стационарное решение
3.4 Свойства нестационарного решения
Заключение
Литература

Введение
Актуальность проблемы. Среди множества моделей, используемых в механике жидкости и газа, можно выделить так называемые классические модели, к которым относятся уравнения газовой динамики, уравнения Эйлера, Навье - Стокса, Обербека - Буссинеска, пограничного слоя Прандтля. Среди постановок начально - краевых задач для уравнений названных моделей особое место занимают задачи, описывающие движения жидких сред с поверхностями раздела. Из известных примеров таких движений можно привести следующие: внутренние волны [45], совместные движения систем типа вода - нефть [9], плёночные течения [8]. Исследование такого рода задач связано с большими математическими трудностями: нелинейность уравнений и граничных условий на поверхностях раздела, неизвестность областей определения решений. В связи с этим является актуальной задача качественного исследования уравнений подмоделей, содержащих меньшее число независимых переменных. В частности, точные решения всегда играли и продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Эти решения часто используют в качестве "тестовых задач"для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных методов, а также имеют чрезвычайно важное значение при изучении устойчивости течений.
В условиях, близком к невесомости, существенное влияние на устойчивость её равновесия и движения жидкостей с поверхностью раздела или со свободной поверхностью оказывают зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры и порождаемый ею термокапиллярный эффект. Несмотря на то, что о существовании этого эффекта известно уже давно (см. подробный обзор в [66]), интенсивное изучение данного явления началось несколько десятилетий назад. В 1956 году Блок [58], анализируя результаты собственных экспериментальных исследований условий возникновения движений в тонких слоях жидкости со свободной поверхностью, а также проведённых ранее опытов Бенара [57], пришёл к заключению, что в этих случаях существенную роль играет зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры. В 1958 году выходит первая теоретическая работа, выполненная Пирсоном [63], в которой исследован механизм неустойчивости подогреваемого снизу слоя жидкости со свободной поверхностью при отсутствии массовых сил. В этой работе был получен принципиальный результат: наличие только термокапиллярных сил может приводить к возникновению движения в жидкости. Дальнейшее теоретическое изучение влияния термокапиллярного эффекта на устойчивость рав-

новесия было продолжено рядом авторов L. E. Scriven, C. V. Sterling (1964), J. C. Berg (1972), А. А. Непомнящий, И. Б. Симановский (1985, 1986), [10].
В последние годы, в связи с развитием космической технологии значительно возросла необходимость теоретического и экспериментального изучения термокапиллярного эффекта (см. монографии [[50], [1], [15] и цитируемую в них литературу). В отсутствии гидростатического давления в условиях невесомости форма жидкости определяется только её поверхностным натяжением, что позволяет осуществлять плавление и затвердевание веществ без физического контакта со стенками.
В связи с развитием современной технологии появились новые задачи,когда необходимо учитывать термокапиллярный эффект и в земных условиях. Например, при лазерном отжиге полупроводников или при лазерной обработке материалов с плавлением, которая применяется для легирования поверхностного слоя металла [20]. При этом на поверхности материала появляются относительно протяжённые тонкие слои расплава (глубиной порядка нескольких мкм), в которых, согласно [65], [64], термокапиллярные силы доминируют над силами термогравитации. Возникающие здесь вопросы термокапиллярной устойчивости интенсивно исследуются в [17], [52].
Из вышесказанного следует, что оценка эффекта Марангони (влияние термокапиллярных сил) в той или иной выбранной модели является актуальной задачей.
Диссертационная работа посвящена исследованию одного инвариантного и частично - инвариантного решения уравнений вязкой теплопроводной жидкости, когда на поверхностях раздела трёх несмешивающихся жидкостей коэффициенты поверхностного натяжения линейно зависят от температуры, а также источником движения являются нестационарные градиенты давления.
Математическая модель трёхслойных движений используется при анализе течений и волн в жидких и сыпучих средах. В работе [53] рассматривается трёхслойная среда — два слоя идеальной однородной жидкости, грунт. Нижняя ЖИДКОСТЬ имеет ПЛОТНОСТЬ Pi, верхняя — Р2, Pi > Р2- На поверхности раздела верхний слой — воздух (свободная поверхность), и на поверхности раздела двух слоёв образуются волны. При движении нижнего слоя происходит взаимодействие жидкости с грунтом, в результате чего частицы донного слоя также приходят в движение.
Отметим, что задача об однонаправленном движении двух вязких жидкостей изучена в работах [5, 6]. Задача о термокапиллярном движении капли одной жидкости в другой жидкости, занимающей все пространство исследовалось в работах И. В. Денисовой [59] - [61]. В этих работах получены априорные оценки решений.

Значит, если градиент давления в одной из жидкостей достаточно быстро стремится к нулю, то происходит торможение жидкостей за счет вязкого трения по законам (2.3.11), (2.3.12), (2.3.16).
Покажем, что при некоторых условиях поле скоростей стремится к стационарному (2.2.6) с ростом времени. Для этого введём разности
Тогда функции н^(у, і) будут удовлетворять начально - краевой за-
Отметим, что теперь начальные данные не нулевые и Е(0) 0, а функции
дЩ), также как и ^(ф), удовлетворяют условию рдг = р^дг = Рз9г- Тогда из (2.3.3) получим оценку
іифуф) =и]{у) -щ(у, і) 9і(ї) = /? - /Щ)
(2.3.17)

0) - и$(у),
(2.3.18)
Уііиіу(1і,і) -д2М2у(к,і) =0, Ц2и)2у(І2,І) - Рз'Шзу{к,ї) =0,
= го2(^іД), гу2(^Д) = гнз(/2,і), иц(0, г) = 0, и>з(1з, і) = 0.
(2.3.19)
Е(і) < (уЩ + І У І 5і (і) І е6Ы?)

(2.3.20)

ЩО) = ^Р! І (и°1(у))2йу + І/}2 J (и°2(у))2 (Іу + У з І(и°3(у))2(іу.

Следовательно, если сходится интеграл

(2.3.21)

то неравенство (2.3.20) примет вид