Переопределенные линейные системы двух и трех дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точками

• Автор: Иззатуллоев Дости
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 108 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ

§ 1Л. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение

рассматриваемой системы

§1.2. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение

рассматриваемой системы

ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЙ СИСТЕМЫ ТРЕХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ

§2.1. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение

рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к

переопределенной системе двух уравнений в области

§ 2.2. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение
системы (1.48)
§2.3. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение
системы (1.48)
§ 2.4. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к
переопределенной-системе двух уравненийв области &2
§ 2.5. Случай, когда основным уравнением является третье уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к
переопределенной системе двух уравнений в области 31
ГЛАВА 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ДВУХ ЛИНЕЙНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНОЙ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА,
С ОДНОЙ СВЕРХСИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ
§3.1. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение

рассматриваемой системы
§ 3.2. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение
рассматриваемой системы
ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНОЙ СИСТЕМЫ, ТРЕХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, С ОДНОЙ СВЕРХСИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ
§4.1. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к
переопределенной системе двух уравнений в области
§ 4.2. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к
переопределенной системы двух уравнений в области £21
§ 4.3. Случай, когда основным уравнением является третье уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к
переопределенной системе двух уравнений в области з!
БИБЛИОГРАФИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Теория переопределенных систем уравнений в частных производных с регулярными коэффициентами связана с именами Якоби, и др. Одним из первых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных, которые в настоящее время достаточно хорошо изучены, является система в полных дифференциалах.
Простейшей переопределенной системой дифференциальных уравнений в частных производных можно считать систему
их=Р(х,у), иу=(2(х,у), где условие Ру = <2 х является необходимым и достаточным для
разрешимости этой системы. При его выполнении
с1и - Р(х,у)с1х + ()(х,у)с1у является полным дифференциалом, и функция и(х,у) восстанавливается интегрированием. Аналогично обстоит дело с полным дифференциалом в трехмерном и п-мерном случаях.
Академиком АН РТ Л.Г. Михайловым положено начало изучения некоторых систем в полных дифференциалах с сингулярными точками первого порядка [1], [2], [26].
Монография Н.Раджабова, академика АН РТ [13] посвящена получению многообразия решений, исследованию краевых задач для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа второго
порядка некоторых линейных переопределенных систем первого и второго
порядка и с одной и с двумя сверхсингулярными линиями и сверхсингулярными точками. Методы нахождение решений в данной монографии, разработанные для гиперболических уравнений и гиперболических систем с сингулярными коэффициентами, распространяются и для гиперболических уравнений и систем со сверхсингулярными коэффициентами.
В 1994 году профессором Э. Рузметовым была опубликована

<Р(у) = ехр[-ю2(0,у)-6(0,0)1пу]-(С1 + .ехр[й>, (0,s) + 6(0,0) In s-Jcte, (1.14)

где С, - произвольная постоянная.
Теперь значение функции <р,(у) из равенства (1.14) подставляя в уравнение (1.6), получим общее решение системы уравнений (1.1) в виде
С, - произвольная постоянная.
Решение уравнений системы (1.1) вида (1.15) получено при следующих предположениях: Ь(х,у) в окрестности точки (0,0) удовлетворяет условию типа Гёльдера
| Ь(х,у) - 6(0,0)| < Я, г“, Я, = const ,0 < а < I, г2 = х2 + у2,
6(0, у) в точке у = 0 удовлетворяет условию типа Гельдера, то есть:
|б(0,>>)-6(0,0)| < Н2 уа' ,Н2 = const, 0 < а, < 1.
Если 6(0,0) < 0, тогда для сходимости первого интеграла в правой части равенства (1.15) потребуем выполнений условий
/2(0,у)еС(Г2), /2 (0,0)
с асимптотическим поведением:

(1.15)
(х,у)* (0,0) и при х = 0,
и (0, у) = ехр[- а>2 (0, у) - 6(0,0) In у]- (С, + Г(°>д) . еХр [<о,(0, д) + 6(0,0) In sks

Для сходимости второго интеграла в равенстве (1.15) при х = 0 и