Однопараметрические канонические полугруппы и корректные задачи без начальных условий для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве

• Автор: Гим Метак Хамза Гим
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 88 с.

Оглавление
Введение

1 Однопараметрические канонические полугруппы

1.1 Вектор-функции со значениями в банаховом пространстве.

1.2 Оператор-функции

1.3 Канонические полугруппы

1.4 Элементарные полугруппы и их производящие уравнения .

1.5 Арифметические полугруппы и из производящие операторы

1.6 Позитивные операторы и их дробные степени

1.7 Задачи корректные по Ж.Адамару

1.8 Задачи для дифференциальных уравнений, равномерно корректные по С.Г. Крейну

2 Задачи без начальных условий и их корректная разрешимость
2.1 Постановка задачи
2.2 Необходимые факты из общей теории
2.3 Полугруппы переносов с деформациями
2.4 Производящие операторы полугрупп с деформациями
2.5 Примеры полугрупп с деформациями
2.6 Нестационарные задачи без начальных условий

3 Со- операторные многочлены и их коэрцитивность
3.1 Проблемы коэрцитивности. История вопроса
3.2 Со~ операторные многочлены
3.3 х(^) функция Хевисайда и 3.4 Теорема коэрцитивности
3.5 Представление решений некоторых задач без начальных условий для уравнений высокого порядка
Список литературы

Введение
Диссертация посвящена применению методов теории однопараметиче-ских полугрупп функций в банаховом пространстве к исследованию равномерно корректной разрешимости по С.Г. Крейну задач для дифференциальных уравнений математической физики, актуальных в механике, гидродинамике, тепломассопереносе и др. В частности, к задачам тепло-массопереноса, отмеченным в работах Ю.И. Бабенко [1], [2], а также к исследованию многомерных уравнений, называемых С.Л. Соболевым по-лигармоническими, с точки зрения коэрцитивности систем соответствующих операторов, которые мы здесь также называем полигармонически-ми.
Таким образом, в диссертации используются следующие разделы функционального анализа и теории эволюционных уравнений:
а) методы теории однопараметрических канонических полугрупп
б) методы теории корректных задач по Ж. Адамару
в) методы теории равномерно корректных задач для дифференциальных уравнений С.Г. Крейна.
Как известно, активное применение теории полугрупп и групп к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными началось с работ Ж.Адамара, заметившего, что задача Коши для волнового уравнения приводит к некоторым группам преобразований. При этом, из групповых свойств вытекают определенные теоремы сложения. В случае же преобразований параболического типа, когда соответствующие явления необратимы, вместо групп появляются полугруппы.
В работах Хилле, Иосиды, Филлипса и Като были заложены основы теории дифференциальных уравнений вида и'{Ь) = Аи{€) с неограни-

Следует также указать и на возможности конструирования Со- полугрупп в рамках теории дробных степеней операторов развитой в работах [13],[26], [27].
1.6 Позитивные операторы и их дробные степени
В исследовании корректной разрешимости начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторами важное место занимают дробные степени этих операторов. В частности, это относится к так называемы позитивным операторам см. [28], с. 135.
Определение 1.6.1. Оператор А с плотной областью определения будем называть позитивным, если при всех 1 > 0 существуют операторы (А + Н)~1 и если
Позитивные операторы не обязательно являются производящими операторами сильно непрерывных полугрупп.
Оказывается, что для введения дробных степеней можно ослабить условие позитивности.
Как известно, для производящих операторов Со-полугрупп, удовлетворяющих оценке
определены дробные степени {—А)а аеМ формулой Балакришнана (см.
(1.6.1)
||Т(£)|| < Ме~ш > 0, £ > О, М > О, (1.6.5)
[13], с. 358)
(ж е £>(А)). (1.6.6)