Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов с нелокальными условиями сопряжения

• Автор: Фадеева, Оксана Владиславовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 110 с.

Глава 1. Краевые задачи для уравнения гиперболического типа с условием сопряжения на характеристике

§ 1.1. Вспомогательные утверждения

§ 1.2. Краевая задача с граничными условиями второго рода

§ 1.3. Краевая задача с граничными условиями первого рода

§ 1.4. Краевая задача со смешанными граничными условиями

Глава 2. Краевые задачи со смешанными граничными условиями для уравнения смешанного типа

§ 2.1. Постановка задачи Ух. Единственность решения

§ 2.2. Существование решения задачи У1

§ 2.3. Постановка задачи У2. Вспомогательные утверждения

§ 2.4. Единственность решения задачи У2

§ 2.5. Существование решения задачи У2

Глава 3. Задача со смешанными краевыми условиями на всей границе области для уравнения смешанного типа
§ 3.1. Постановка задачи 2Ж. Вспомогательные утверждения
§ 3.2. Единственность решения задачи /Ж
§3.3. Существование решения задачи /977
Библиографический список

В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических уравнений, а так же уравнений смешанного типа. Интерес к этому классу уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой и гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в различных разделах механики сплошных сред и других областях знаний.
Основы этой теории заложены в известных работах Ф. Трикоми [69, 70], С. Геллерстедта [83], К.И. Бабенко [2,3], Ф.И. Франкля [79,80], М.А. Лаврентьева [39], A.B. Бицадзе [8,9]. Уравнения смешанного типа систематически стали изучаться с конца 40-х годов XX века, после того, как Ф.И. Франкль указал их приложения к проблемам околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамики. Позже были найдены приложения этих уравнений в других разделах физики и механики. И.Н. Векуа указал приложения в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей безмоментной теории оболочек.
Теоретические основополагающие результаты принадлежат Ф. Трикоми, который поставил и решил первую граничную задачу для уравнения
У“а+и„ = °>
и С. Геллерстедту, который провел исследования для уравнения
У2т+'ии + иуу = °> meN.
М.А. Лаврентьев, с целью упрощения исследований краевых задач для уравнений смешанного типа, предложил новую модель уравнений
и а + Sgn у • Ид,
Исследования задачи Трикоми и ее обобщений для этого уравнения принадлежат A.B. Бицадзе. Теперь оно называется уравнением Лаврентьева-Бицадзе. A.B. Бицадзе впервые сформулировал принцип экстремума для за-

дачи Трикоми. Позднее он был доказан и для других краевых задач для различных уравнений смешанного типа [58].
Одно из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными - постановка новых задач, как по краевым условиям, так и по условиям сопряжения, и поиск методов решения поставленных задач. В этом направлении во второй половине XX века появляются новые работы, среди которых можно отметить работы A.B. Бицадзе, A.A. Самарского [61], М.М. Смирнова [65,66], Ю.М. Крикунова [36], В.Ф. Волкода-вова [11], С.П. Пулькина [51,52], Е.И. Моисеева [41,42], К.Б. Сабитова [57-60], А.И. Кожанова [33], В.И. Жегалова [27,28], А.М. Нахушева [43,44], P.C. Хайруллина [81,82], А.М. Ежова [26], O.A. Репина [54], JI.C. Пулькиной [53] и других.
В последних работах В.Ф. Волкодавова впервые исследуются краевые задачи для уравнений эллиптико-гиперболического типа, отличающихся от ранее рассматриваемых тем, что линия изменения типа является его характеристикой. В постановках задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с производной дробного порядка или интегралом дробного порядка из области гиперболичности. Первые результаты в этом направлении опубликованы в статье В.Ф. Волкодавова и 0.10. Наумова [18], где рассматривается краевая задача для уравнения
Уравнения такого типа встречаются в работах его учеников - O.K. Быстровой [14], И.А. Кузнецовой [37], И.Н. Родионовой, С.В. Бушкова [55] и других. Краевые задачи с подобными условиями сопряжения изучены в работе Ю.А. Плотниковой [47] для частных случаев уравнения гиперболического типа

пМ=йтЧ> (2.1.6)
У.(х)=[(х2-р) (/,0)с/(?2)+| (х2 -?2)л и 2(х,ч)д(<2), 0<Я <1, (2.1.7)
ах о о
о о
(2.1.6)
П{х,у)~ решение задачи Дарбу для уравнения (2.1.1) в области Д_ с данными
щ (х,0) = г(х), х е [ОД], щ (х,-х) = О, х е [0,1], а и2(х,у)- решение задачи Дарбу для уравнения (2.1.1) в области £)_ с данными
иг (х,0) = 0, х е [0,1], и2 (х,-х) = м(х), х е [0,1].
Решим задачу Дарбу для уравнения (2.1.1) в области £>_ с данными (2.1.4)

Это решение можно получить в явном виде, используя решение задачи Дарбу для уравнения (1.1.1) в области в+, которое построено нами в §1.1. Для этого отобразим область С+ в область £>_ и положим а = /? = р. Тогда имеем следующее утверждение.
Теорема 2.1.1. Если г(х)еС[0,1]пС'(0,1), г’(х) е 1[0,1];
м(х)6 С[0,1] п С'(0,1), w'(x) е I [0,1], и{0) = г(0), то существует единственное решение задачи Дарбу для уравнения (2.1.1) в области £>_, определяемое формулой
где 1Т(-) - функция Римана-Адамара уравнения (1.1.1), введенная в § 1.1, при
(х,0) = г(х), хе[0,1].
(2.1.8)
м(х,у)=[1Г(0,Г,-у,х) г'(?)+—г(/) с* + о
(2.1.9)