Энтропийные решения нелинейных задач динамики многофазных сред

• Автор: Саженков, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 368 с.

Оглавление
Введение
0.1 Актуальность проблем математической корректности для
вырождающихся уравнений диффузии-конвекции и для задач усреднения в механике сплошных сред
0.2 Об уравнениях, изучаемых в диссертации
0.3 Цели диссертации. Краткий обзор содержания диссертации
0.4 Апробация работы
1 Вспомогательные сведения из линейной алгебры и функционального анализа
1.1 Основные обозначения
1.2 Функциональные пространства
1.2.1 Основные свойства банаховых пространств
1.2.2 О пространствах непрерывных функций
1.2.3 Пространства Лебега
1.2.4 Пространства Соболева
1.2.5 Пространства Бохнера
1.2.6 Меры Радона
1.2.7 О пространствах слабо* измеримых отображений и слабо измеримых отображений
1.3 Меры Янга
1.4 Некоторые факты теории потенциалов Рисса и псевдо-дифференциальных операторов нулевого порядка
1.5 Я-меры Тартара
1.5.1 Оригинальное определение Я-меры Тартара
1.5.2 О версии Я-мер Тартара, предложенной Е.Ю. Пановым
2 Кинетическая формулировка ультрапараболического уравнения Гратца-Нуссельта
2.1 Формулировка задачи и основные результаты
2.2 Предварительные сведения
2.3 Доказательство теоремы 2.2 о разрешимости кинетической
формулировки
2.4 Доказательство теоремы 2.3 о ренормализации кинетического уравнения
2.5 Доказательство теоремы 2.4 о структуре решений кинетической формулировки
3 Истинно нелинейное ультрапараболическое уравнение Гратца-Нуссельта
3.1 Формулировка задачи и основных результатов
3.2 Кинетическая формулировка уравнения (3.1.1а)
3.3 Я-меры Л. Тартара
3.4 Формулировка принципа локализации для Я-мер
3.5 Доказательство теоремы 3.3.
Часть I: предварительные сведения
3.6 Доказательство теоремы 3.3.
Часть II: вывод равенства (3.4.1)
3.7 Доказательство теоремы 3.3.
Часть III: вывод равенства (3.4.2)

3.8 Доказательство теоремы 3.
3.9 Доказательство теоремы 3.
4 Энтропийные решения ультрапараболической задачи Веригина
4.1 Формулировка задачи
4.2 Понятие энтропийного решения задачи А4.
Формулировка основных результатов
4.3 Параболическая аппроксимация задачи А4. Частичная компактность семейства приближенных полей скоростей . . .
4.4 Кинетические уравнения
4.4.1 Конструкция кинетического уравнения
4.4.2 Предельный переход в кинетическом уравнении при

4.5 //-меры Тартара. Формулировка принципа локализации для
Я-мер
4.5.1 Определение Я-мер
4.5.2 Формулировка принципа локализации для Я-мер .
4.5.3 Доказательство теоремы 4.3.
Часть I: предварительные сведения
4.5.4 Доказательство теоремы 4.3.
Часть И: вывод равенства (4.5.5)
4.5.5 Доказательство теоремы 4.3.
Часть III: вывод равенства (4.5.6)
4.6 Доказательство теорем 4.1 и 4.
5 Решения задачи Дарси-Стефана о фазовых переходах в насыщенном пористом грунте
Предисловие
5.1 Постановка задачи Дарси-Стефана (задачи Б-Б)

(Аи); = <Ц]Уу и (г>А)г = (А4«)* — а^Уг Каждый раз, перед тем как ввести в употребление соглашение о суммировании, в тексте об этом будет сказано явно.
В диссертации не преследовалась цель ввести строгое единообразие для производных но временной и пространственным переменным. Поэтому, например, производные скалярной или векторной функции V по
_ <Эг>
временной переменной Ь в разных главах могут иметь вид VI, или —. Поскольку главы достаточно обособлены друг от друга, недоразумения такие различия в обозначениях при чтении вызвать не должны.
Как обычно, градиентом вектор-функции V. е-> Ж" является с1хп-матричная функция
/ дь ду2 д уп
дх дь дх1 дь'2 дх дУп
УхУ = (дхм) = дх2 дх2 дх
дь дь2 дуп
дха дх<1 ''' дха )
Для простоты для вектор-функций будем всегда записывать, например, и 6 17(0), в тех случаях, когда надо указать, что все компоненты щ(х),..., ип(х) вектор-функции и принадлежат пространству 17(0). Другими словами, в этом случае под 1/(0.) подразумевается пространство 17(0; Ж"). В частности, можно записать д2хи € 17(О), для того, чтобы указать, что все производные второго порядка принадлежат пространству 17(0). Такое обозначение позволяет избежать избыточного употребления большого числа индексов.
Для всевозможных симметричных тензоров (симметричных й X (1-матричных функций) § = (б'у), через сйух§ обозначается их дивергенция

— вектор с компонентами (<Нуг§)г- = ^ дХ}Зц. Тензорное произведение