О решении одного класса модельных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с экстремальными свойствами

• Автор: Хафизов, Хасан Маджидович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 72 с. : ил.

ОГ ЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА 1. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

С ЭКСТРЕМАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ

§ 1Л. Построение модельных уравнений с экстремальными

свойствами и их обоснование

' § 1.2. Определение класса возможных решений

§ 1.3. Простые и экспоненциальные решения

§ 1.4. Уравнение в частных производных первого порядка

с переменными коэффициентами

§ 1.5. Переопределенная система, связанная с простым, экспоненциальным и логистическим классом
решений
^ ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЕ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА С СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И С ЭКСТРЕМАЛЬНЫМИ
СВОЙСТВАМИ
§ 2.1. Простейшие уравнения с сингулярными
коэффициентами
§ 2.2. Простейшие уравнения с т независимыми
переменными и вырождением
^ § 2.3. Вырожденное уравнение с общими коэффициентами на
плоскости
§ 2.4. Экспоненциальное решения вырожденных уравнений
§ 2.5. Компьютерное решение задачи
Литература
Актуальность работы. Как известно, многие задачи физики, математики, экологии, экономики и ряда других отраслей естествознания приводятся к дифференциальным уравнениям в частных производных. Среди них следует отметить в первую очередь книги и статьи: Петровского И.Г. [1], Тихонова А.Н и Самарского A.A. [2], Соболева C.J1. [3,4], Ладыженской O.A. [5], Ладыженской О.А и Уральцевой H.H. [6], Ладыженской O.A., Солонникова В.А. и Уральцева H.H. [7], Фридмана А. [8], Лионса Ж.Л. [9], Владимирова B.C. [10], Михайлова В.П. [11], Куранта Р. [12], Михлина С.Г. [13,14], АдамараЖ. [15], Арсенина В.Я. [16], Бицадзе A.B. [17,18], Годунова С.К. [19], Миранда К. [20], Стеклова В.А. [21], Смирнова В.И. [22], Филиппова А.Ф. [27], Ильина А.М., Калашникова A.C. и Олейника O.A. [28], Дж. Хейла [29], Кошлакова Н.С., Глинера Э.Б. и Смирнова М.М. [30], Арамановича И.Г. и Левина В.И. [31], Смирнова М.М. [32,33], Ильина В.А.
[34], Несиса Е.И. [35] и многих других авторов. Важным классом дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка являются уравнения в частных производных первого порядка, для которых изучаются различные реальные задачи с начальными и краевыми условиями. Уравнениям в частных производных первого порядка (например, уравнение переноса) и задачам, связанным с ними, посвящены многочисленные работы, в частности, книги и статьи: Годунова С.К. [19], Петровского И.Г. [1], Смирнова В.И. [22], Куранта Р. [12], Карташева А.П. и Рождественского Б.Л. [36] и др.
В этих работах изучаются вопросы корректности соответствующих задач в конечномерных и бесконечномерных пространствах, рассматриваются и разрабатываются эффективные методы их решений. Уравнения с частными производными первого порядка от одной неизвестной функции наиболее полно рассматриваются в работе [1]. Основным фактом теории этих уравнений является то, что нахождение всех их решений сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. В данной работе описано это сведение. Сначала рассматривается почти линейное уравнения типа
tak{xvx2 xn)~ + b(xvx2 xn,u)=0 (1)
А=1 дхк
При этом допускается, что искомая функция U входит в b{xl,Xl Xn, и) нелинейно. Пусть коэффициенты ак {х1,Х2,"-,Хп )
имеют в рассматриваемой области С пространства (х:,Х2 Хп) непрерывные частные производные 1-го порядка по всем их аргументам, и
пусть в этой области I о42 > 0. Относительно ь{х1,х1 хп,и) будем

предполагать, что эта функция определена при Ы < М, когда точка
(хл,Х2 Хп) находится в области С и имеет по всем своим аргументам непрерывные первые производные. Сделанные относительно Ь(х1,Х1 Хп,и) предположения выполняются, в частности, в том случае,
когда Ь{х1,Х1 Хп,и) есть линейная функция от и (в этом случае уравнение (1) называется почти линейным) с коэффициентами, которые имеют непрерывные первые производные по всем хк. Напишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
* = (2)
V т
В силу сделанных относительно С1к предположений правые части этих
(Ь уравнений имеют непрерывные производные по всем хк. Поэтому через >
каждую точку области С проходит одна и только одна интегральная линия этой системы (5 есть параметр, равный длине дуги интегральной линии). Эти линии называются характеристиками уравнения (1). Первые интегралы . системы обыкновенных дифференциальных уравнений определяются следующим образом. Из предыдущего изложения следует, что система, состоящая из обыкновенных дифференциальных уравнений (2) и уравнения
с1и Ь
+ , = = 0 , (3)
д/а,2 + ...+ а2п
определяет в пространстве {хъХ2 Хп,и) семейство интегральных линий, из которых состоят интегральные поверхности и = и{х1 Хп ) уравнения (1) (.9 рассматривается как параметр).
Аналогично рассматривается квазилинейное уравнении вида
^а1(х1 хп,и)^ + Ь{хх,...хп,и)
*=1 ох.
(4)

и(х, у, і) = и0 + л/2С0? + 1п
У)
где С0 > 0 - произвольное положительное число.
Рассмотрим отношение
ґ Лс0 X
. Ясно, что при х -У 0, у —» О мы
.0.
получаем неопределенность типа ". Изменим закон стремления к нулю
переменных хи у. Рассмотрим уравнения х — (ру у = (Рг(?)» где (р] (5) —> 0 (/ = 1,2) при 5 -> 0.
Предположим, что (р (5) (у = 1,2) достаточно гладкие функции при - оо < 5 < +оо и (р} (О) Ф 0, j = 1,2 .Тогда легко видеть, что
фАя) Л Ьш— = 1ип—-ГХ = <Ро^®-
5-*0 У 5—М) $2
Не умаляя общности, можно взять (р§ — 1.
Таким образом,
Нгп и(х,у, ?)=м0+л/2С0Н
л1—>0
Теперь рассмотрим класс экспоненциальных решений

(1.6)
х— = Схи, у~- = С2и дх ду
где С2 +С22 =С2.