Периодические дифференциальные операторы. Пороговые свойства и усреднения

• Автор: Суслина, Татьяна Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 303 с.

,* Содержание

Сокращения. Унификация обозначений

Глава 1. Операторные семейства, допускающие факторизацию

§1.1. Квадратичные пучки вида Х(£)*Х(£)

§ 1.2. Вспомогательный материал

§ 1.3. Оценки для разности резольвент на контуре

§ 1.4. Пороговые аппроксимации

Ф §1-5. Приближение для оператор-функции (Л(£) + е21)~1

§ 1.6. Приближение для операторной экспоненты

Глава 2. Периодические дифференциальные операторы в Дг(1К';;Сп). Эффективные характеристики вблизи нижнего края спектра

§ 2.1. Основные определения. Предварительные сведения

§ 2.2. Разложение оператора Л в прямой интеграл
§2.3. Включение операторов *4(к) в схему §1
§ 2.4. Эффективные матрицы и эффективный оператор
§2.5. Поведение резольвенты (Л + е2/)"1 при е —*
§2.6. Поведение обобщенной резольвенты при е —»
§2.7. Поведение экспоненты е~Ат при т —> оо

Глава 3. Задачи усреднения для периодических эллиптических операторов
§3.1. Предварительные сведения. Характер результатов
§ 3.2. Приближение резольвенты по операторной норме
§ 3.3. Слабая сходимость решений и потоков эллиптических уравнений
§ 3.4. Случаи сильной сходимости
§ 3.5. Периодические операторы акустики и Шредингера
§ 3.6. Оператор теории упругости в К“*, <1 >
§3.7. Периодический оператор Шредингера
§3.8. Двумерный периодический оператор Паули
§3.9. Комментарии
Глава 4. Задачи усреднения для периодических параболических операторов

§4.1. Приближение экспоненты по операторной норме
§4.2. Интерполяционные результаты
§4.3. Слабая сходимость решений и потоков в параболической задаче
Коши
§4.4. Неоднородная задача Коши
§4.5. Неоднородная задача Коши. Слабая сходимость решений и
потоков
Глава 5. Усреднение стационарной периодической системы Максвелла145
§5.1. План исследования. Предварительные сведения
§5.2. Функциональные классы. Разложение Вейля
§5.3. Оператор £
§5.4. Применение общей схемы к операторам £(к)
§5.5. Аппроксимация проектора на соленоидальное подпространство.. 177 § 5.6. Аппроксимация резольвенты оператора £(к) и ее соленоидальной
части
§ 5.7. Аппроксимация резольвенты оператора £ и ее соленоидальной
части
§5.8. Другие аппроксимации для операторов R(e) и Rj{e)
§5.9. Задача гомогенизации для оператора £
§ 5.10. Адаптация результатов § 5.9 для применения к оператору Максвелла
§5.11. Слабая сходимость решений и потоков
§ 5.12. Усреднение периодической системы Максвелла
Глава 6. Усреднение периодического эллиптического оператора в
полосе
§6.1. Определение оператора. Основной результат
§ 6.2. Сведение к операторам на ячейке
§ 6.3. Операторный пучок А{к)
§6.4. Аппроксимация операторного семейства В(к-,е)
§ 6.5. Предварительные оценки
§ 6.6. Оценки коммутаторов
§ 6.7. Доказательство предложения 6.5

§ 6.8. Об обобщениях теоремы 6.1
Глава 7. Дискретный спектр в лакунах двумерного периодического оператора Шредингера, возмущенного убывающим потенциалом
§ 7.1. Постановка задачи. Предварительные сведения
§ 7.2. Формулировка основных результатов
§ 7.3. Модельные интегральные операторы
§7.4. Сведение к компактным операторам
§ 7.5. Операторы Ьм() и £^(7)
§7.6. Операторы йдг(Л) и /С^(у)
§7.7. Операторы М,у(А) и 7)
§7.8. Доказательство теорем 7.2.2(±)
§7.9. Доказательство теорем 7.2.5(±)
Заключение
Литература
-«I

В силу (1.5.2) росток S семейства A(t) — невырожденный. Тогда росток S для A(t) также невырожден, а потому существует оператор (t2s + e2Q~yl
Предложение 1.5.7. Для оператора 0 := M(t2SP + e2I)~lPM*, действующего в fj, справедливо соотношение
0 = (t2S + e2Q^)~1P. (1.5.15)
Доказательство. Пусть у £ S) и = Qrf. Тогда M_1Ç G 07, С € 91, и t2SM~lÇP е2М С, = PM*rj. В силу (1.1.24), это соотношение можно переписать в виде
t2PM*S^+e2M~1C = РМ*у. (1.5.16)
Далее, из (1.1.21) вытекает, что
РМ* = M-Q~)~lP. (1.5.17)
Из соотношений (1.5.16) и (1.5.17) следует, что
t2M-1(Q~)-lPSÇ + e2M-1C = M-1(Q~)-1Pr),
или, равносильно, t2SÇ + e2Q~C = Prj. Последнее доказывает (1.5.15). •
Для оператор-функции
У(е, t) = (A(t) + e2I)~l - (t2SP + e2I)~lP (1.5.18)
запишем оценку (1.5.11) в виде
е\У{еД)\<С, С — 2~гС + (3<5)-1, 0<е<1, |«| < t°{6). (1.5.19)
В силу (1.5.13), (1.5.15), (1.5.18), МУ(еД)М* = (Â(t)+e2Q)~1 -(t2S+e2Q^)~1P, что вместе с (1.5.19) приводит к оценке
e\(Â(t) + e2Q)-1 - (t2S + £2Q~y1P\ < C\Mf = C\Q-% (1.5.20)
Все величины в (1.5.20) выражены в терминах действующих в Sj семейства A(t) и оператора Q. Таким образом, оценку (1.5.20) можно считать обобщением оценки (1.5.19) для оператор-функции (1.5.18). Впрочем, от исходного