Исследование экспоненциальной дихотомии линейных почти периодических систем прямым методом Ляпунова

• Автор: Бельгарт, Любовь Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 117 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Предварительные сведения

§ 1.1. О-дихотомия решений системы Х-/і(ґ)х с непрерывной

ограниченной матрицей

§ 1.2. Э-дихотомия решений системы Хпл | = Ап х с ограниченной

матрицей З
§ 1.3. Почти периодические функции непрерывного и дискретного аргумента. Критерий компактности С. Бохнера
§ 1.4. Теорема М. Г. Крейна об операторном неравенстве в банаховом пространстве с конусом

Глава 2. Э-дихотомия решений системы х = Л(1)х С почти

периодической матрицей

§ 2.1. Формулировка основного результата
§ 2.2. Подготовительные теоремы
§ 2.3. Доказательство основного результата
§ 2.4. Пример. Э-дихотомия решений векторного почти периодического уравнения второго порядка
Глава 3. Э-дихотомия решений системы хп=Апх с ноч-
ти периодической матрицей
§3.1. Формулировка основного результата
§ 3.2. Подготовительные теоремы
§ 3.3. Доказательство основного результата
§ 3.4. Пример
Глава 4. Э-дихотомия решений задачи Коши для одномерной линейной гиперболической почти периодической системы в гильбертовом пространстве
§ 4.1. Оператор сдвига вдоль характеристик гиперболической
системы
§ 4.2. Две леммы
§ 4.3. /(остаточное условие т-дихотомии для системы (4.1)
с гладкими ограниченными коэффициентами
§ 4.4. Класс индефинитных функционалов Ляпунова
§ 4.5. Случай почти периодических по времени коэффициентов
Заключение
Литература
Введение
1. В последние несколько десятилетий в теории устойчивости интенсивно изучается тип поведения динамических систем, получивший название экспоненциальная дихотомия.
Говорят, что для системы
х-А(/)х х:К->Е = СЛ, (0.1)
непрерывной матрицей и матрицей Коши (/(/) имеет место
свойство экспоненциальной дихотомии (')-дихотомии), если фазовое пространство распадается в прямую сумму
е = е[+е2 (0.2)
так, что
1°) при некоторых //, у > 0 выполняются оценки

Є is, => I t/(/)jc| < f-ie v' "г) I t/(r)x| (t>r x є E2 => |t/(/)jc| < pte~vT |fi(r)x| (/ < г),
(0.3)
2°) взаимный наклон (см. и. 1 § 1.1) движущихся подпространств Et(,)= отделен от нуля: &,(£,((),£,(<))> у>0.
Здесь и далее |-| - эрмитова норма r Е, так же обозначается согласованная с ней матричная норма.
Числа //, V, у называются параметрами дихотомии.
В частном случае |Л(/)| < const требование 2° следует из 1°.
Основным приёмом при изучении систем (0.1) со свойством э-дихотомии является матрица Грина, определяемая формулой
U(l)IU'(r) ),

rU(,)P2U'(r) где Pk - проекторы, реализующие разложение (0.2):
Г(1,г)
(0.4)

Функция /(/) называется почти периодической (п.п.), если она непрерывна на оси и для любого с > О существует такое число l = что любой отрезок длины / на оси содержит хотя бы один £-почти-период.
Обозначим Св банахово пространство непрерывных ограниченных функций R —> С с нормой
||/||г =яцН/(0|’ (1-24)
Н 1еЛ
Сп - множество всех п.п. функций.
1°. Сумма, разность и произведение п.п. функций почти периодичны; если /(/) и.п. и |/ (/)| > const > 0, то [/(011 ii-ri-
2°. Множество Сд - замкнутое подпространство в Св.
3°. (Критерий компактности С. Бохнера). Функция / ; R —> (' почти периодична тогда и только тогда, когда множество её трансляционных функций (сдвигов)
f{t + z) (r g r) (1.25)
- предкомнакт в Св: из любой последовательности сдвигов
f(t + Tn) можно выделить сходящуюся в Св подпоследовательность.
4°. Оболочкой //[/] п.п. функции /(/) называется замыкание множества сё сдвигов (1.25) в топологии пространства Св. Справедливо соотношение
f &ll[g.
5°. Определение и свойства I °- 4° почти периодических функций
переносятся на функции R —> С Л , R -> Mat (N, С) с заменой в