О разрешимости квазилинейных смешанных задач для параболических уравнений

• Автор: Магомедова, Елена Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 96 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ 22 § 1. Постановка проблемы и рассмотрение соответствующей

краевой задачи

§ 2. Асимптотическое представление для функции Грина

§ 3. Формула интегрального преобразования, разложения в ряды Фурье.

§ 4. Леммы об основных интегралах, связанных с задачей (1)-(3)

§ 5. Решение задачи (1)-(3) в случае однородного уравнения (I)

ГЛАВА II. СВЕДЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

§ 1. Интегро-дифференциальное уравнение для задачи (1)-(3)

§ 2. Система интегральных уравнений
§ 3. Решение системы интегральных уравнений
§ 4. Дифференцируемость решений системы (38) и заключительные
теоремы
ГЛАВА III. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 1. Многомерная смешанная задача для квазилинейной параболической
системы
§ 2. Задача о поперечных колебаниях упругого стержня
ГЛАВА IV. СЛУЧАЙ ПЛОСКОЙ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННОЙ СТАРШЕЙ ЧАСТЬЮ
§1. Постановка проблемы и вспомогательная граничная задача
§2. Асимптотическое представление матрицы Грина и её полюсы
§3. Формула интегрального преобразования
§4. Сведение к интегральным уравнениям и основная теорема
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Изучению смешанных, иначе начально-краевых, задач для линейных дифференциальных уравнений и систем посвящено большое число работ [1], [2], [10], [14], [22], [26], [36], [38], [39], [42], [47]. При этом естественно возникают различные методы решения, отражающие в свою очередь развитие математической науки. Это - метод разделения переменных Фурье, методы интегральных преобразований, операторные методы, метод характеристик, метод Галеркина, метод конечных разностей и другие.
Одно из центральных мест принадлежит методу Фурье, модификация которого используется в нашей работе и с которым связан большой математический аппарат, являющийся удобным и мощным инструментом исследования задач математической физики.
Впервые метод Фурье получил строгое обоснование в работах Стеклова В.А. [41], рассмотревшего смешанные задачи для уравнения колебания неоднородной струны и охлаждения неоднородного стержня.
Для многомерной смешанной задачи
+ S,u(t,x)=f{t,x),

где S, - самосопряженный оператор, порожденный выражением

- аЛх)— +с(х)и,
i.k=l CXi

метод Фурье обоснован Ладыженской О.А. [24].

При 1>1п>0 это видно непосредственно. При малых же г интегралы
(24), (25) сами малы. Установим, наконец, оценку (25).
00 00 00 /
е~х йх= е<у+«иу = е~* е-У2е-2НЧу<^-е к2 .
и о о
Лемма 2. Интегралы вида

Js = Xs<ЇKe 4 ^ ^/(т£,у,ч/)<1т,

і -х| 1+) |фдг; г
І5 = |А.5й?А, ]£)(.*, ^,Х.)г 0' ^“^/(т,£,у,у)<7т, 5 = 7, 0,

сходятся абсолютно и равномерно при 0<х<1, 0<ї<Т, причем
справедливы оценки:

'(|.//|,|//|)< С а/7 гаах|/|, тах^70|,|/0|)< Оа тах/, /а, ^<а<7.
Доказательство. Деформируем контур Ь в Ьп так, что

7.„ = 11а^1 = ±^,Ц>0'{.
Пусть ХеЬп; имеем

Ле І5 Ъ = е

2 1 г 1 <
с^=Гт| ± -7-т—е *

"+" при ^ х, при Е, > х