Адиабатические спектральные асимптотики для дифференциальных операторов на многообразиях со слоением

• Автор: Яковлев, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 105 с.

Глава 1. Адиабатические пределы для слоения Кронекера на торе

1.1. Основные определения и обозначения

1.2. Слоение Кронекера на двумерном торе

1.2.1 Первое доказательство Теоремы 1.2

1.2.2 Второе доказательство Теоремы 1.2

(задача теории чисел)

Глава 2. Адиабатические асимптотики собственных значений

2.1. Оператор Лапласа-Бельтрами на римановом многообразии Гейзенберга

2.1.1 Фундаментальное решение уравнения теплопроводности

2.1.2 Доказательство Теоремы 2.1

2.2. Оператор Лапласа-Бельтрами на римановом Бої-многообразии

2.2.1 Спектр оператора Лапласа и модифицированный
оператор Матье
2.2.2 ЗЬ(2,2), бинарные квадратичные формы и теория чисел
2.2.3 Доказательство теоремы 2.2
Глава 3. Спектр оператора Лапласа на формах и спектральная последовательность слоения
3.1. Спектр оператора Лапласа-Бельтрами
3.2 Спектр оператора Лапласа на один-формах

3.3. Спектральные последовательности
Заключение
Список литературы

Настоящая диссертация посвящена исследованию асимптотического поведения спектра оператора Лапласа для некоторых компактных рима-новых многообразий со слоением в адиабатическом пределе. Под адиабатическими асимптотическими задачами в спектральной теории дифференциальных операторов понимаются задачи исследования асимптотического поведения спектра самосопряженного эллиптического дифференциального оператора в частных производных, зависящего от малого параметра, в случае, когда малый параметр входит только в коэффициенты, стоящие перед производными по отношению к выбранной группе переменных (см., например, [14]).
Асимптотические задачи такого рода впервые возникли в квантовой молекулярной физике в работе Борна и Оппенгеймера в 1927 г., в которой было предложено для описания квантовых уровней энергии молекулы использовать приближение, основанное на малости отношения массы электрона к массе ядра, что приводит к изучению асимптотического поведения спектра оператора Шредингера
описывающего квантовую теорию молекулы (квантового гамильтониана), в пределе т/М —> 0. Математическое обоснование приближения Борна-Оппенгеймера началось значительно позже, в начале 80-х годов прошлого века, и активно продолжается до настоящего времени (см.,например, [49, 54] и приведенные там ссылки). В дальнейшем, ана-

7(ио, Щ, щ) имеют следующий вид:
и=т

(7оехр (Щ))

(е4, 0,0)
ш О

V = ~
(ІІ

(7оехр(Н/))
(0, е_Ш(й, 0) = є-“’0
ди д

(ІІ
(то ехр(іЖ))

(0, ОД + ги0)

9г;’

дт'
Определение 2.2.2. Римановым Зо1-многообразиом М называется компактное многообразие СдМ3 с метрикой д:
• — дискретная подгруппа группы Ли Мъ, состоящая из
7(гг, V, го) Е М3, таких что
(гг,г») = &(с*, с1) + Дс2, с2) Є Г, ю = тІпА,
• д — риманова метрика на бДДМ3 , чей подъем на М3 инвариантен при левых сдвигах на элементы группы М3 (такие метрики мы называем локально левоинвариантными).
Легко видеть, что локально левоинвариантная метрика д единственным образом определяется своим значением в единице 7(0,0, 0) группы Ли М3, которое задается симметрической положительно определенной З х 3-матрицей.
Предположим, что д определяется в единице Єа'УІ0,0,0) единичной матрицей:
{ о о
з(<Яі7(0,0,0)) = 0 10V0 0 У
Другими словами, базис І/, V, И/ является ортонормированным. Тогда в локальных координатах метрика д имеет вид
5(Сд7(г4, V, «>)) = (и*)г + (у*у + (IЖ*)2 = + йггД