Оптимальное управление линейной системой со случайными коэффициентами и квадратичным критерием качества

• Автор: Якубенко, Илья Павлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 130 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава I. Случайные процессы и их характеристики
1 Вариационная производная и её свойства
2 Моментные функции случайного процесса
3 Линейное дифференциальное уравнение с обычной и вариационной производными
4 Математическое ожидание решения скалярного дифференциального уравнения первого порядка
5 Вторая моментная функция решения'скалярного дифференциального уравнения первого порядка
6 Нахождение статистических характеристик решений дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами
7 Численный метод нахождения математического ожидания для скалярного дифференциального уравнения со случайным параметром
8 Численный метод нахождения математического ожидания для систем дифференциальных уравнений со случайным параметром (общий случай)
9 Метод пошагового вычисления математического ожидания
10 Применение методов для решения конкретных задач
11 Применение методов для решения систем дифференциальных уравнений содержащих случайный процесс
Глава II. Нахождение статистических характеристик оптимального управления
линейными системами с квадратичным критерием качества
1 Нахождение оптимального управления для линейной стохастической системы
2 Примеры решения линейных задач оптимального управления с квадратичным критерием качества

3 Частный случай задачи (2.1.14) - (2.1.16) с нормальной случайной
величиной
4 Задача (2.1.4) - (2.1.6) с нормальной случайной величиной
5 Задача с равномерной случайной величиной
6 Случайный процесс с двумя реализациями
Глава III. Вторая моментная функция оптимального управления системы со случайными коэффициентами
1 Постановка задачи
2 Нахождение математического ожидания оптимального управления
3 Нахождение второй моментной функции оптимального управления
Глава IV. Численные расчёты статистических характеристик
1 Уравнения Фредгольма и их решение
2 Квадратурный метод решения интегральных уравнений Фредгольма
3 Нахождение первых моментных функций траектории и управления в среде
Майгсай
4 Нахождение второй моментной функции управления
Список литературы
Приложение

Введение
Актуальность темы исследования. Работа посвящена задачам оптимального управления динамическими системами. Управляемые системы изобилуют в химической промышленности, экономике, биологии и физических задачах. Этому направлению посвящено огромное количество публикаций, особую роль в задачах оптимального управления играет принцип максимума Л.С. Понтрягина и метод динамического программирования.
Реальные управляемые процессы зависят от влияния внешних факторов (это является скорее правилом, чем исключением). В некоторых случаях таким влиянием можно пренебречь, однако иногда это может приводить к ощутимым последствиям. Зачастую влияние внешних факторов можно моделировать случайными процессами. К настоящему времени большое развитие получила теория стохастических дифференциальных уравнений, разработке которой посвящены труды А. Н. Колмогорова, Р. Л. Стратоновича, В. С. Пугачёва, К. Ито, И. И. Гихмана, А. В. Скорохода, А. Н. Ширяева, П. Ланжевена, А. С. Монина, А. М. Яглома и многих других [10, 27, 34, 61, 62].
Изучаются и задачи оптимального управления системами, описываемыми стохастическими дифференциальными уравнениями, а также дифференциальными уравнениями, коэффициенты которых являются случайными процессами (М. Ю. Афанасьев, Ф. Л. Черноусько) [1, 45]. Наиболее изученными, при этом являются задачи, описываемые линейными стохастическими дифференциальными уравнениями с квадратичным критерием качества управления (Ф. Л. Черноусько, J. Y. S. Luh, М. P. Lukas, W. М. Wonham) [45,59, 60,61].
Задачи, описываемые дифференциальными уравнениями, коэффициенты которых являются случайными процессами, изучены меньше, хотя многие реальные процессы описываются именно такими уравнениями. Для практики

10 Применение методов для решения конкретных задач
Как показано ранее, для задачи
x = s(t)x, (1-4.7)
*(f„ ) = *0, (1.4.8)
где x(t)еR, te[tQ,ta +J], sit) - случайный процесс, причем s(t) задан характеристическим функционалом q>£ (и) имеет место формула
Mx(t) = xQ(pE(-ixh,,)- (1-4.9)
Характеристическая функция для случайной величины, распределенной по
sinfa(s)M(j) равномерному закону (р£{и)~—р------------------ет , где a(t)>0, #0) = Afe(f),
I a(s)u(s)ds

*К0е[£(0-а(0;#(0+я(
Подставим характеристическую функцию в формулу (1.4.9) получим

sin j-a(S)iX,Js)ds ,^(s),Xioi(s)d! sin(ija(S)ds)
Mx(t) = xо fr ——- e T----------------------------------------=x0—Js------------------------------------e'»

Поскольку sin(x + iy) = sin(x)ch(y) + i cos(x)sh(y), to
ish(a(s)ds) , sh(a(s)ds) , им* -}Я(ц* ,
J IfM* g'o — g
Mx(t) = xQ— e'° =*o П e'° = xo--7 e'"
i J a(s)ds | a(s)ds 2 J a(s)ds

Рассмотрим дифференциальное уравнение с заданным начальным условием
x = sin(?)x, (1.10.1)
x(t0) = x0, (1.10.2)