О некоторых равномерно корректных по С.Г. Крейну задачах для дифференциальных уравнений с дробными производными

• Автор: Салим Бадран Джасим Салим
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 90 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Равномерно корректные задачи для абстрактных дифференциальных уравнений
1.1 Вектор-функции и некоторые их свойства
1.2 Оператор-функции и полугруппы
1.3 Дробные степени операторов
1.4 Уравнение 2-го порядка. Эллиптический случай
2 Со— операторные многочлены и корректная разрешимость с дробными производными Римана-Лиувилля в гиперве-совых пространствах
2.1 Корректная разрешимость Со- полиномиальной задачи
2.2 Гипервозрастающие и гиперубывающие весовые функции
2.3 Операторы дробного интегрирования и дифференцирования Римана - Лиувилля в пространствах £р±
2.4 Дифференциальные уравнения рационального порядка
3 Корректная разрешимость задач с дифференциальными операторами Адамара—Эйлера
3.1 Операторы Адамара-Эйлера и сильно непрерывные группы и полугруппы в Ьр^

3.2 Сильно непрерывные операторные косинус-
функции
3.3 Полугруппы и группы Адамара-Эйлера в обобщенных пространствах Степанова
3.4 Дробные степени операторов Адамара-Эйлера
3.5 Задачи с оператором Адамара-Эйлера
3.6 О корректной разрешимости задачи Коши для обобщенного телеграфного уравнения
Список литературы

Введение
Как указали Ж.Адамар, А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, М.М.Лаврентьев и др., при численной реализации решения задач математической физики основополагающим фактом является докзательство их корректной разрешимости, которая устанавливает устойчивую стабилизацию сходимости приближенных решений к точному. Диссертация посвящена применению теории сильно непрерывных полугрупп преобразований к исследованию начально-краевых задач для дифференциальных уравнений вида
(£ > 0 или £ € (—оо, оо)) в банаховом пространстве, где оператор А задается: а) одним из дифференциальных выражений
= х € — (—°°5 сю) или Е+ = [0, оо) в соответствую-
щих весовых функциональных пространствах введенных в диссертации и называемых гипервесовыми, б) одним из дифференциальных выражений вида 1±(р(х) — х 6 К1+ или 1±<р(х), в соответствующих
функциональных пространствах, которые здесь вводятся.
Устанавливается, что рассматриваемые в этих пространствах операторы являются генераторами полугрупп Т(£) класса Со с оценкой
которая, как известно, является ключевой при исследовании корректной разрешимости начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве (см. [28]).
(0.1)
(0.2)
||Т(«)|| < Ме~ы ш ДОДД
(0.3)

Для этих операторов можно определить отрицательные дробные степени формулой
^-“=2Ъ
где Г(а)— контур ограничивающий спектр оператора.
1.3.2. Дробные степени производящих операторов полугрупп
класса Со
Оказывается, что для введения дробных степеней можно ослабить условие позитивности.
Как известно, для производящих операторов Со-полугрупп, удовлетворяющих оценке (1.2.28)
||T(f)|| < Me~wt, и > 0,t > 0,М > О, (1.3.5)
определены дробные степени (—А)а а Є R формулой Балакришнана (см. [13], с. 358)
(«еош (1.3.6)
И для резольвенты оператора Аа = —(—А)а справедливо представление
(„/ - А „Г' = — Г(П- АГ2-„ г- (I'3'7)
jr Jo /х — 2цг2 cos ал + r2a
Оператор Aa является производящим оператором аналитической полугруппы Ta(t), равностепенно непрерывной и удовлетворяющей Со- условию.
Справедлива следующая
Теорема 1.3.1. Если А - генератор С^-полугруппы, удовлетворяющей оценке (1.3.5), то для полугрупп Ta(t), генераторами которых являются операторы — (—А)а, справедлива оценка
||Тв(*)|| < Ме~“н, (1.3.8)