Третье краевое условие в задачах граничного управления для уравнения колебаний

• Автор: Никитин, Алексей Антонович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 61 с. : ил.

1 Смешанная задача с третьим и первым краевыми условиями

1.1 Постановка смешанной задачи

1.2 Решение задачи возбуждения

1.3 Приложение полученного результата к задаче граничного управления

2 Смешанная задача со вторым и третьим краевыми условиями

2.1 Постановка задачи

2.2 Решение задачи возбуждения

3 Оптимизация граничного управления при закрепленном конце

3.1 Постановка задачи граничного управления

3.2 Проведение оптимизации

3.3 Решение интегрального уравнения

3.4 Доказательство единственности оптимального управления
А Граничное управление при упругом закреплении
Литература

Главным предметом изучения в настоящей диссертационной работе является задача граничного управления для волнового уравнения с одной пространственной переменной
ии(х, Ь) - ихх(х, £) = 0. (1)
Уравнение (I) представляет интерес, так как оно является математической моделью большого числа волновых процессов, встречающихся в самых разных физических явлениях: механические колебания в упругих струнах и кристаллах кварца, колебания в радиотехнических устройствах, перемещение сечений каната в судовых спускоподъемных операциях и др. В приложениях возникают задачи, когда желательно генерировать колебания заданных частот, или же наоборот, переводить изучаемую систему в состояние полного покоя. В связи с этим большую актуальность приобретают задачи о граничном управлении процессом колебаний, которые описываются волновым уравнением.
Исследованию решений задач граничного управления и их оптимизации посвящены работы многих математиков (см..например, [1] - [34]). Основной целью является изучение условий, при которых процесс колебаний струны под воздействием некоторого граничного'управления может быть переведен из одного состояния, характеризуемого начальным смещением и* начальной скоростью точек струны, в наперед заданное финальное состояние. В математическом плане такие задачи граничного управления формулируются в терминах краевых задач для волнового уравнения (1) и более общих гиперболических уравнений.
Во многих работах доказывается существование определенного промежутка времени, который, следуя общепринятой теримнологии, мы будем называть критическим (Ткрит)- Было показано (см., например, [ 18],[ 19],[21 ]), что если промежуток времени, за который производится управление, не превосходит Ткрит. то задача граничного управления не имеет решения для произвольных начальных и финальных условий. При промежутках времени строго больших ГКрит, существует бесконечно много решений задачи граничного управления при любых начальных и финальных функциях. Для уравнения (1) было установлено, что ТКрит = 2/ в случае граничного управления на одном конце струны и Ткрит = I в случае управления на двух концах.
Одним из первых задачу об управлении колебаниями в форме смешанных задач для волнового уравнения рассмотрел в цикле своих работ Ж.Л. Лионе ([ 1 ], [2]). В работе [ 1 ] данная задача изучалась в цилиндре П х (0,Т) с начальными условиями
и(х-,0) = <р(х), щ(х, 0) = ф{х), в П (2)

и граничными условиями
u(x,t) =вГх(0,Т). (3)
Начальные и граничные условия были взяты из следующих классов: <р(х) е £2(^)1 ip(x)
Я_1(П), 6 L2[0,T], a u(x,t) являлось слабо обобщенным решением. Задача заключалась в нахождении такой функции fi(t) 6 L2[0,T], для которой в классах Ь2 и Я-1 выполнялись бы равенства
и(х,Т) = 0; ut(x,T) = 0, в П, (4)
где u(x,t) - решение задачи (1) - (3) с граничным условием /«(£)• Лионсом была доказана
неединственность решения сформулированной задачи при промежутках времениТ > 2Я(П) 1 Разработанный Лионсом метод (Hilbert uniqueness method) позволил изучить проблему существования граничного управления исследуемой задачи не только в одномерном, но и в многомерном случае.
В дальнейшем HUM-метод Лиопса был обобщен его учениками и последователями (см., например, [3] - [6]) на случай квазилинейного волнового уравнения, однородного транспортного уравнения, неавтономных гиперболических систем и др.
В статье Ф.П. Васильева [7] была предложена трактовка основ теории двойственности в линейных задачах управления и наблюдения. Его совместные с учениками работы ([8], [9]) посвящены конструктивному решению задач о граничном управлении процессом колебаний. В этих статьях были построены эффективные численные алгоритмы нахождения искомого граничного управления. Работа [8] основана на использовании конечномерной аппроксимации задачи граничного управления, а работа [9] использует метод Фурье.
А.З. Ишмухаметовым в работе [ 10] была изучена задача приведения однородного стержня в состояние как можно более близкое к заданному за промежуток времени Т. Рассматриваются условия, когда левый конец стержня закреплен, правый свободен, а управление производится внешней поперечной нагрузкой и начальным состоянием.
Отметим также, что близкими вопросами теории граничного управления с использованием формулы Даламбера и разложения в тригонометрический ряд Фурье еще ранее занимались А.Г.Бутковский, А.И.Егоров и Л.Д. Акуленко (см.,например, работы [11] - [14]).
Большой цикл работ, выполненный В.А. Ильиным и продолженный его учениками, опубликованный в 1999 - 2008 годы, связан с решением задач управления процессом колебаний в терминах обобщенного решения смешанных задач сначала из класса {Qr). а потом и из класса W2l(<2r); здесь через QT обозначен прямоугольник [0 < х < 1} х [0 < t < Т]
1 Под -R(ft) понимается диаметр области П

п+1
щ(х,Т) = — У^ р(2/тл — х) — У^ р(21тп. + х) +
тп= 1 тп
„ Т Г
У"^ 1(2/?т) Гр(2/т + а; — г) + р(2/т — х — т)1 о?т,
—П **
+ 2/1
П+1
+ 2Л_

Далее зафиксируем х 6 [0, /] и воспользуемся этими тождествами для выражения в терминах функции р(ж) следующей формально понимаемой суммы
П П
8 = [иг(2//г + х,Т) — щ(—21к — х, Г)| 4- ^ [иг(2М; + ж, Т) + их(-21к - ж//’)]
А:=0 £
п ( г п+1 п
-Е -Е р (2/(?тг — к) — ж) — р (2/(т + /с) + ж) +
А:—О I. ^ т=1 т
п Тг
'У' / ^-т(2^Т) [м (2/(771 + /с) + Ж — т) + р (2/(гп — к) — Ж — т)| с/т +
7П=0
1 п
+ У^Р (2/(пг + к) + ж) + У] р (2/(т — к) — ж)
771=1 771
— 2Лу^ I 1__т{2Нт) (2/(т — /с) — ж — г) -I- р (2/(ггг- -I- /г) + ж - т)| с/т +
т=°
• П+1 П
+ У^ р (2/(тп — к) — ж) — ]Г р (2/(гп + /с) + ж) +
*- 7П—1 771
" тг
+ 2Л У^ I „_т(2 Л г) (21. (т + к) + х - г) - 'р. (2/(т - к) - х - т) | йт +
771=0
П+1 П
+ У] р (21(т + &)-+- ж) — У^ р (2/(?п — /г) — ж) +
т=1 т
+ 2Лу^ /'/^_т(2/гт) (2/(т - /г) - ж - т) — р (2/(т + /г) + ж — с/т
т=о
= ]Г| р (2/(п + 1 + к) + х) — р (211 + ж) + р (—2/с/ — ж) — р (2/(п + 1 — &) — ж) + к=о I
+ р (2/(71 + 1 + к) + ж) — р (21к + ж) — р (—21к — ж) + р (21(п + 1 — к) — ж)

= — 2 р (21к + ж)