Устойчивость и бифуркации семейств равновесий и стационарных движений симметричных и косимметричных динамических систем

• Автор: Куракин, Леонид Геннадиевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 288 с. : ил.

ГЛАВА I. БИФУРКАЦИИ, СОПРОВОЖДАЮЩИЕ МОНОТОННУЮ ПОТЕРЮ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ КО-СИММЕТРИЧНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

1 1. Введение

1.2. Метод Ляпунова-Шмидта для уравнения с кооимметрией

1.2.1. Постановка задачи и уравнения разветвления

1.2.2. Случай общего положения

1.2.3. Меюд Ляпунова — Шмидта в случае двумерного ядра

1.2.4. Бифуркации общего положения в системах с коеимметрией

1.2 5. Случай полного вырождения линейной части уравнения разветвления

1.3. Метод центрального многообразия. Случай двукратного нулевого собственного значения
1.3.1. Случай двумерной жордановой клетки. Бифуркация устойчивых и неустойчивых дуг

1.3.2. Случай общего положения: нет локальных бифуркаций

1.3.3. Рождение неустойчивой дуги
1.3.4. Рождение пары дуг — устойчивой и неустойчивой
1.3.5. Случай двумерного ядра: седловая бифуркация и бифуркация рождения цикла равновесий из «воздуха»
1.3.6. Случай двумерного ядра: бифуркация семейства равновесий, сопровождаемая рождением малой неустойчивой дуги
1.3.7. Случай двумерного ядра: ответвление малого цикла равновесий от угловой точки семейства равновесий
1.4. Меюд центрального многообразия. Случай трехкратного нулевого собс! венного значения

1.4.1. Жорданова клетка. Рождение усюйчивой дуги, образованной равновесиями разного типа
1.4.2. Двумерное ядро. Бифуркации семейств равновесий, сопровождаемые внутренними бифуркациями
1.5. Приложение. Распрямление косиммефичного векторного поля на плоскости
ГЛАВА II. БИФУРКАЦИЯ ОТВЕТВЛЕНИЯ ЦИКЛА В П-ПАРД-МЕТРИЧЕСКОМ СЕМЕЙСТВЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С КОСИММЕТРИЕЙ
2.1. Введение
2.2. Постановка задачи
2.3. Фазовые нортреш и перестройка
2 3.1. Главные семейства
2 3 2. Развитие неустойчивой дуги без ответвления цикла
2.3.3. Ответвление предельного цикла от равновесия, разделяющего устойчивую и неустойчивые дуги
2.3.4. Ответвление предельного цикла от равновесия, разделяющего две устойчивые дуги
2.4. Заключение
2.5. Приложение А: Косимметрическая версия теоремы о неявной функ

Приложение В: Сводка результатов
ГЛАВА III. ОТВЕТВЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ЦИКЛА ОТ ПОДМНОГООБРАЗИЯ РАВНОВЕСИЙ В СИСТЕМЕ С МУЛЬТИКОСИММЕТРИЕЙ
3.1. Метод Ляпунова — Шмидта
3.1.1. Постановка задачи. Основные определения и гипотезы
3.1.2. Линеаризованное уравнение
3.1.3. Уравнение разветвления циклов

3.2. Метод центрального многообразия
3 2.1. Постановка задачи
3.2.2. Бифуркация областей устойчивости
3.2.3. Модельные семейства
3.2.4. Ответвление предельного цикла без бифуркации областей
усюйчивости
3.2.5. Огвеївление предельного цикла в случае бифуркации обласіей устойчивости
3.2.6. Случай общего положения: предельный цикл не ответвляется, и области усюйчивости не бифурцируют
ГЛАВА IV. О БИФУРКАЦИЯХ РАВНОВЕСИЙ ПРИ РАЗРУШЕНИИ КОСИММЕТРИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМНІ
4.1. Постановка задачи и уравнения разветвления
4.2. Случай общеі о положения
4.3. Метод Ляпунова — Шмидта в случае двумерного ядра
ГЛАВА V. СВ УСТОЙЧИВОСТИ ГРАНИЧНБІХ РАВНОВЕСИЙ В
СИСТЕМАХ С КОСИММЕТРИЕЙ
5.1. Обращение теоремы о неявной функции для косимметрических систем
5 2. Критические случаи устойчивости
5.2.1. Критический случай трехкратного нулевого собственного
значения
5.2.2. Критический случай двукратного нулевого и простой пары
чисто мнимых собственных значений
5.2.3. Критический случай нулевого и пары чисю мнимых собственных значений (все они просты)
5.2.4. Уравнение на центральном многообразии, влияние косим
метрии на сто ряд тейлора
5.2.5. Критерии устойчивости и модельные системы
Глава

Рис. З- Фазовый nopipei 1 данною семейства общего положения (1 66). Белыми кружками обозначены устойчивые равновесия, а черными — ноусюйчивые.
п. 1.3.3 РОЖДЕНИЕ НЕУСТОЙЧИВОЙ ДУГИ (а ф 0, г = 0, а03 < 0).
В качестве модельной рассмотрим систему
х = 0, у = е1 + е2у + £бУ2 + ах + а03у3, (1.67)
полученную отбрасыванием в системе (1.60)—(1.61) слагаемых порядка о(х + у3) при (х,у) -> 0 и уравнения (1.61). Вводя в системе (1.67) замену переменных
х аСх + к, у —у Су — (1.68)

С — у/—аоз, к = —£С2 + -£2£бС 1 + 27^6^ 3//2> получаем
X = о, у = ßy + x -у3 (1.69)
Предложение 1.4 Фазовый портрета системы (1.69), если ß < 0, имеет вид, представленный на Рис.4(1). Случаю ß > 0 соответствует Рис.4(2).