Изучение асимптотического поведения решений полулинейного эллиптического уравнения

• Автор: Хачлаев, Тимур Султанович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с.

ГЛАВА 1. Полулинейное эллиптическое уравнение в цилиндрической области

§1. Вспомогательные утверждения

§2. Асимптотика положительных решений

§3. Знакопеременные решения

§4. Условие Дирихле

§5. Уравнение вида иа + Ди + и — и3

ГЛАВА 2. Полулинейное уравнение в цилиндрической области с растущим коэффициентом

ГЛАВА 3. Полулинейное эллиптическое уравнение во внешности компакта

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Проблема исследования поведения решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными при больших значениях независимой переменной является весьма важной и интересной как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения приложений в математической физике.
Работа посвящена изучению решений уравнения
п д ( , , ди{х)
^ + S^ ~~ «(“Ж*)!'" V*) = 0 (ол)
i,j=l 4
в разного рода неограниченных областях П, где аДх), а* (ж), а(х) — ограниченные измеримые функции в Г2, а = const > 1,

Ai|£|2< аф)^ < А2|£|2,
i,j
£ € IRn, |£|2 = ЕГ=1 Ai = const > 0, Аг — const > 0, а(х) > 0, х € П.
4Ц Уравнения вида (0.1) встречаются в различных задачах математической
физики и им посвящено много работ например Brezis [18, 19], Keller [25], Osserman [30], Veron [33-35]. Наиболее полно исследован случай а,у(ж) = Sij, то есть старшая часть — оператор Лапласа, аг(х) = 0, а(х) = const.
Одним из важнейших вопросов теории дифференциальных уравнений является вопрос об асимптотическом поведении их решений в окрестности бесконечно удаленной точки областей различной структуры. В частности, много внимания уделяется изучению поведения решений в цилиндрических областях с разного рода граничными условиями (например, Кондратьев, Олейник [27]; Berestycki, Nirenberg [17]; Kondratiev, Veron [28]). Такие задачи возникают в химической физике, в теории горения [5].
Заметим, что свойства решений уравнения (0.1) существенно отличаются от свойств решений линейных уравнений. Например, если и(х) — решение (0.1) в Q = {х : |х| < 1}, то |н(0)| < С, где С от и не зависит. Это невозможно в линейном случае (а — 1). Доказательство такого неравенства имеется в работах [25] (при atj(x) = SlJ} аг(х) = 0), [10] (при аг(х) = 0) при а,; (ж) ф 0 в настоящей работе. tfß Исследование уравнения (0.1) является содержательным и в случае п = 1.
Такие уравнения известны как уравнения Эмдена-Фаулера. Уравнение
y±tay°~1y

возникло в связи с астрофизическими исследованиями Эмдена [20,21] и исследовалось затем многими авторами [22 - 24]. Оно так же встречается в ядер-ной физике при изучении поведения электронов в тяжелом атоме. Наиболее полное изложение современного состояния теории обыкновенных уравнений типа Эмдена-Фаулера имеется в работе Сансоне Дж. [31], в монографиях Веллмана Р. [2] и Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А. [6].
Работа состоит из трех глав. В главе 1 рассматриваются решения уравнения
в области £2 — G X IR+ (G С И" - ограниченная область, <9(7 = Г - липши-цевая поверхность, 1R+ = (0,+оо)), удовлетворяющие условию
где п - единичный вектор внешней нормали к 9(7 х IR+. Везде в дальнейшем, если не оговорено иное, предполагается, что все коэффициенты уравнения (0.2) a,ij(x), щ(х), а(х) ~ измеримые, ограниченные функции в G, <Ч) = Gjt! а(х) > 0, fGa(x) dx > 0, а = const > 1,
roi|£!2 < ^2 au(x)£i€j — m2|£|2, x e G, £ £ IRn, mi, m2 — const > 0.
В качестве решения уравнения (0.2), удовлетворяющего условию (0.3) понимается обобщенное решение. Приведем его определение.
Будем обозначать Па)Ь = <7х (а, Ь), Па,оо — Па, Гад = 9(7 х (а, Ь), Га>0О = Га. Функция п(жД) называется обобщенным решением уравнения (0.2), удовлетворяющим условию (0.3), если и(х^) € (Па_ь) П (П0;ь) при любых 0 < а, Ь < оо и имеет место равенство:
9 ( ди . ди , . , .
Utt +12 fa. [ау + 22ai^^ -а(ж)М и = 0 (°'2)

Лемма 2.7. Каждое положительное решение уравнения
y(t) - tpya{t) = 0, р > -2, er > 1, (2.19)
которое определено для сколь угодно больших значений t, имеет вид y(t) ~ сГ, гс?е w = а с =
Доказательство. Сделав в уравнении (2.19) замену y(t) — ctwv{t), будем иметь
cTü + 2(сГ)'г> + (ctw)"v - tpva(ctw)a = 0.
Выбирая с и w из условия (ctw)" = (ctwytp, получим
t2v + 2wtv + w(w - 1)(г> — va) — 0. (2.20)
Сделаем в уравнении (2.20)еще одну замену t = ех. Оно перейдет в следующее
и" + (2 w — 1 )г/ + w{w — 1)(г> — г/7) = 0, (2-21)
где 2-ш — 1 < 0 < w(w — 1).
Для доказательства Леммы надо показать, что lim v = 1.
а:-»+оо
Решение V не может иметь максимума большего 1 и минимума меньшего 1. Действительно в точке максимума большего 1 имеем
Jv,+ (2w — l)v' + w(w - 1)(н — va) < 0,
=0 <0
а в точке минимума меньшего
(2ш — 1)г/ + w(w — l)(v — v°) > 0,
20 V ^ ^ ' Jo
в обоих случаях получаем противоречие. Отсюда следует, что все решения уравнения (2.21) монотонны, начиная с некоторого момента. Значит, они имеют предел при х —У сю. Этот предел не может быть равен бесконечности, так как из Леммы об ограниченности всей совокупности решений во внутренней точке компакта единой постоянной следует, что все решения ограничены.
Если V а = const < оо, то а — аа = 0. Действительно предположим противное а — оса У 0, тогда возможны случаи 1) v" + (2w - l)v' ->■ 2а > 0.
Следовательно с некоторого момента г/'+(2ш—1)г/ > а. Интегрируя это неравенство, получим, что v'+(2w—l)v > ax+b или v' > ax+b—(2w—l)v > ax+b.