Краевые задачи для нагруженных уравнений и уравнений с дробным дифференцированием

• Автор: Тарасенко, Анна Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Содержание
Введение

Вводные сведения

- Специальные функции

— Операторы дробного интегро-дифференцирования

и некоторые их свойства

Глава 1. Краевые задачи для нагруженных

уравнений теплопроводности и Геллерстедта

§ 1.1. Об одной задаче с оператором М. Сайго в краевом условии для нагруженного уравнения теплопроводности

1.1.1. Постановка задачи I

1.1.2. Единственность и существование решения

краевой задачи I
§ 1.2. Задачи Гурса и Дарбу для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка
1.2.1. Постановка задачи Гурса
1.2.2. Единственность и существование решения
задачи Гурса
1.2.3. Постановка задачи Дарбу
1.2.4. Единственность и существование решения
задачи Дарбу
§ 1.3. Об одной нелокальной задаче для нагруженного уравнения Геллерстедта
1.3.1. Постановка задачи II
1.3.2. Единственность и существование решения задачи II
Глава 2. Некоторые нелокальные задачи для
уравнения смешанного типа
§ 2.1. Нелокальная задача для уравнения с частной
дробной производной Римана-Лиувилля
2.1.1. Постановка задачи III

2.1.2. Единственность решения задачи III
2.1.3. Существование решения задачи III

§ 2.2. Нелокальная задача для уравнения (2.1) с обобщенными
операторами в краевом условии в исключительных случаях
2.2.1. Постановка задачи
2.2.2. Единственность решения задачи
2.2.3. Существование решения задачи
§ 2.3. Краевая задача для уравнения (2.1) в области, параболическая часть которой - верхняя полуплоскость
2.3.1. Постановка задачи IV
2.3.2. Единственность решения задачи IV
2.3.3. Существование решения задачи
Заключение
Литература

Введение
Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена новым корректно поставленным краевым задачам для нагруженных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений смешанного типа, то есть уравнений, которые в разных частях рассматриваемой области принадлежат к различным типам; кроме этого исследования диссертации примыкают к направлению, связанному с теорией дробного интегро-дифференцирования.
Одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория уравнений смешанного типа, истоком которой стала известная задача Ф. Трикоми [104] о нахождении решения уравнения
У'У'хх ~Ь ^'уу б,
которая впервые была решена самим Ф. Трикоми в 20-е годы XX века. Основы этой теории были заложены также в трудах С. Геллер-стедта [112].
Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явились работы Ф.И. Франкля [108], в которых он обнаружил важные приложения теории уравнений смешанного типа к проблемам трансзвуковой газовой динамики.
Впервые на необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда на одной части области задано параболическое уравнение, на другой - гиперболическое, было указано в 1959 г. в работе И.М. Гель-фанда [15], где рассматривается пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой, при этом в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Затем Г.М. Стручина [93], Я.С. Уфлянд [106], Л.А. Золина [24] показали другие применения этих задач.
После этого теория уравнений смешанного типа получила бурное развитие, что обуславливается: во-первых, непосредственной связью уравнений смешанного типа с проблемами теории сингулярных интегральных уравнений и специальных функций, то есть теоретической значимостью получаемых результатов; во-вторых, прикладными задачами физики и механики, которые сводятся к таким уравнениям.

уравнение (1.7) при 0 < а < ^ является интегральным уравнением Вольтерра второго рода со слабой особенностью в ядре и с непрерывной правой частью Ф(£) & С(I), которое однозначно и безусловно разрешимо в классе функций С(1) П С2(1).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1.1.1. Пусть выполняются условия О < а < ^, /3 < 0, а + /3 > О,

О < а < (3 > 0.
Тогда задача I всегда разрешима и притом единственным образом.
Замечание 1.1.1. Обобщенный оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле М. Сайго (1о+’1/){х) при /3 — 0 сводится к оператору Э рдей и- Кобера [82|
Х~а—Ь Хг
(К'+т){х) = У {х - б)а~Чъч>{Ь) <Й, а > 0. о
В данном случае равенство (1.7) принимает вид
«(о,*) = /77^71^0+и(°л)^+

(г-77)
Ь Ь I
/ (Т-’1)! До+Ц(М)^ + J «(0,7?)^ J С|^ + Ф(0.
о о о
При рассмотрении выражений